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二维线性调频Z变换用于光束质量β因子计算

王艳茹 冉铮惠 丁宇洁

王艳茹, 冉铮惠, 丁宇洁. 二维线性调频Z变换用于光束质量β因子计算[J]. 中国光学, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079
引用本文: 王艳茹, 冉铮惠, 丁宇洁. 二维线性调频Z变换用于光束质量β因子计算[J]. 中国光学, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079
WANG Yan-ru, RAN Zheng-hui, DING Yu-jie. Beam quality β factor calculation based on two-dimensional chirp Z transformation[J]. Chinese Optics, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079
Citation: WANG Yan-ru, RAN Zheng-hui, DING Yu-jie. Beam quality β factor calculation based on two-dimensional chirp Z transformation[J]. Chinese Optics, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079

二维线性调频Z变换用于光束质量β因子计算

doi: 10.37188/CO.2020-0079
基金项目: 国防科工局技术基础项目(No. JSJL201712B002)
详细信息
    作者简介:

    王艳茹(1983—),女,陕西渭南人,博士研究生,高级工程师,2011年于中国科学院光电技术研究所获得博士学位,目前主要从事光学计量与检测技术方面的研究工作。E-mail: wyr3235@163.com

  • 中图分类号: O438

Beam quality β factor calculation based on two-dimensional chirp Z transformation

Funds: Supported by Basic Technology Project of Science Technology and Industry for National Defense (No. JSJL201712B002)
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  • 摘要: 本文提出了一种基于二维线性调频Z变换的衍射光场分布快速计算方法,该方法在不增加运算量的情况下可以显著提高光场分布的图像分辨率,进而能够得到更准确的光束质量β因子值。在算法正确性验证的基础上,本文数值模拟了不同光束波前畸变的均方根RMS值与光束质量β因子的对应关系。仿真结果表明,在像差分布RMS值相同的前提下,几种低阶像差类型中球差类型的像差对光束质量的影响最大。为了模拟不同光斑分布形态,随机Zernike像差组合方式的光束质量β因子的仿真计算结果表明:相同的RMS值情况下,高阶像差占比较高的像差组合方式对应的光束质量β因子较大。
  • 图  1  二维Z变换算法流程图

    Figure  1.  Flowchart of two-dimensional chirp Z transformation (CZT)

    图  2  (a)线性调频Z变换的计算路径和(b)透光孔函数

    Figure  2.  (a) The calculation path of CZT algorithm and (b) transparent hole function used in the calculation

    图  3  (a)探测面上的衍射光强分布及(b)衍射强度曲线

    Figure  3.  (a) Diffraction intensity distribution at the detection plane and (b) diffraction intensity curve in one dimension

    图  4  (a)s-fft算法及(b)CZT算法的衍射强度分布

    Figure  4.  Diffraction distributions of (a) s-fft algorithm and (b) CZT algorithm

    图  5  (a)彗差和(b)球差对应的探测面上的衍射强度分布

    Figure  5.  Diffraction distributions of (a) coma wavefront aberration and (b) spherical wavefront aberration

    图  6  (a)光束质量β因子和(b)桶中功率PIB随波像差RMS值的变化关系

    Figure  6.  (a)Beam quality β factor and (b) PIB changing with RMS of wavefront aberration

    图  7  随机像差对应的光束质量β因子波动(a)和β因子的统计分布(b)

    Figure  7.  (a)Fluctuation of β factor with random wavefront aberrations and (b) statistical distribution of the β factor

    图  8  Zernike多项式系数分布图

    Figure  8.  Coefficient of Zernike polynomial

    图  9  不同均方根RMS值的随机像差对应的β因子变化情况

    Figure  9.  Variation in the β factor corresponding to random wavefront aberrations for different RMS values

    表  1  光束质量β因子统计结果

    Table  1.   Statistical results of the β factor

    波像差RMS值β因子统计均值β因子标准偏差
    0.1λ2.500.06
    0.2λ4.420.04
    0.3λ6.560.07
    0.4λ8.660.10
    0.5λ10.810.13
    0.6λ12.640.16
    0.7λ14.870.18
    0.8λ17.110.21
    0.9λ18.670.22
    1.0λ20.900.24
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-27
  • 修回日期:  2020-05-29
  • 网络出版日期:  2020-09-16
  • 刊出日期:  2020-10-01

二维线性调频Z变换用于光束质量β因子计算

doi: 10.37188/CO.2020-0079
    基金项目:  国防科工局技术基础项目(No. JSJL201712B002)
    作者简介:

    王艳茹(1983—),女,陕西渭南人,博士研究生,高级工程师,2011年于中国科学院光电技术研究所获得博士学位,目前主要从事光学计量与检测技术方面的研究工作。E-mail: wyr3235@163.com

  • 中图分类号: O438

摘要: 本文提出了一种基于二维线性调频Z变换的衍射光场分布快速计算方法,该方法在不增加运算量的情况下可以显著提高光场分布的图像分辨率,进而能够得到更准确的光束质量β因子值。在算法正确性验证的基础上,本文数值模拟了不同光束波前畸变的均方根RMS值与光束质量β因子的对应关系。仿真结果表明,在像差分布RMS值相同的前提下,几种低阶像差类型中球差类型的像差对光束质量的影响最大。为了模拟不同光斑分布形态,随机Zernike像差组合方式的光束质量β因子的仿真计算结果表明:相同的RMS值情况下,高阶像差占比较高的像差组合方式对应的光束质量β因子较大。

English Abstract

王艳茹, 冉铮惠, 丁宇洁. 二维线性调频Z变换用于光束质量β因子计算[J]. 中国光学, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079
引用本文: 王艳茹, 冉铮惠, 丁宇洁. 二维线性调频Z变换用于光束质量β因子计算[J]. 中国光学, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079
WANG Yan-ru, RAN Zheng-hui, DING Yu-jie. Beam quality β factor calculation based on two-dimensional chirp Z transformation[J]. Chinese Optics, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079
Citation: WANG Yan-ru, RAN Zheng-hui, DING Yu-jie. Beam quality β factor calculation based on two-dimensional chirp Z transformation[J]. Chinese Optics, 2020, 13(5): 965-974. doi: 10.37188/CO.2020-0079
    • 在高能激光系统中[1-2],除了要具有较高的输出功率和输出能量外,人们更关注的是远场激光束的能量集中度。因此,高能激光系统输出的光束质量测量准确性显得尤为重要。对于能量空间输运型的高能激光系统,普遍采用β因子作为光束质量评价指标[3]。在高能激光系统光束质量的评价与分析中,激光器输出光束的光束质量[4-6]是整个系统光束质量首要的、决定性因素,也是准确鉴定、验收激光器的重要指标。准确测量光束质量β因子是评价激光系统的前提和依据。

      在光束质量β因子测量技术研究中,鲜浩等人研究了光束波像差和光束质量β因子的关系,通过对不同类型泽尼克像差及其组合的像差均方根与光束质量β因子建立了拟合关系式[7]。李新阳等人在文献[7]的基础上,分析了大气湍流模型引起的波像差与光束质量β因子的关系[8]以及湍流大气中的波前复原误差研究[9-11]。目前,对于光束质量β因子的各种测试系统,还没有形成统一的校准规范,用以评价光束质量β因子测量量值的准确性。因此,针对光束质量β因子测量系统的校准技术的研究十分必要。

      在对光束质量β因子测量系统进行校准时,首先需要获得待测光束的光束质量β因子标准值βs,然后在待测光束进入光束质量测量系统后获得测量值βm,二者相除便可以得到测量系统的修正系数Ck。因此,准确获得待测光束的光束质量β因子标准值βs尤为关键。根据光束衍射理论可知,孔径光阑上的物平面函数与探测面上的光场分布存在傅立叶变换关系。但由于s-fft算法需要满足二次采样定理,导致探测面上的采样范围过大,进而使得探测面上的光谱分辨率过低。

      鉴于快速傅立叶变换算法不能精确反应信号的局部频谱特性,本文提出了一种二维线性调频Z变换算法。该算法是将传统的振动信号频谱分析领域中的“一维线性调频Z变换”思想进一步扩展并将其应用于二维光场分布的快速计算。该算法在不增加采样点数且运算量基本保持不变的情况下,能够显著提高衍射光场的频谱分辨率,进而提高光束质量β因子的理论计算准确性。由于该算法可以在感兴趣的频谱范围(光场衍射分布主要集中在低频范围内,一般探测器也就能探测到五级衍射亮环)内进行细分,进而提高衍射光场的频谱分辨率。本文首先分析了二维线性调频Z变换算法原理,编写了matlab计算程序,并对圆形透光孔的衍射强度分布采用二维线性调频Z变换算法进行了验证。在算法正确性验证的基础上,分析了加载单一像差、组合像差等情况下所对应的探测面上的衍射光强分布,并在此基础上,计算了单一像差的RMS值与光束质量β因子的对应关系。

    • 根据光场的菲涅尔衍射[12]理论,焦平面上的衍射强度分布可以表示为:

      $$\begin{split} I(x,y) =& \dfrac{1}{{{\lambda ^2}{f^2}}}{\left| {\iint\limits_s {E({x_0},{y_0})\exp [j\varphi ({x_0},{y_0})] \times }\exp \left\{ \dfrac{{j\text{π} }}{{\lambda f}}[{{(x - {x_0})}^2} + {{(y - {y_0})}^2}]\right\} {\rm{d}}{x_0}{\rm{d}}{y_0}} \right|^2} \\ =& \dfrac{1}{{{\lambda ^2}{f^2}}}{\left| {F\left\{ E({x_0},{y_0})\exp \left[j\varphi ({x_0},{y_0})\right] \times \exp \left[\dfrac{{j\text{π} }}{{\lambda f}}({x_0}^2 + {y_0}^2)\right]\right\} } \right|^2} \;\;, \end{split} $$ (1)

      其中,λ为激光束波长,f为聚焦系统的焦距;x、y分别为探测面上的坐标,x0y0为标准像差板的坐标,φx0y0)表示像差板上的波像差分布,可以用圆域上的正交泽尼克多项式来表示。当φx0y0)=0时,表示没有加载标准像差板时的光强分布,即对应理想光束的衍射强度分布。根据公式(1),可以计算出探测面上光斑的强度分布,通过环围能量曲线以及光束质量β因子的定义可以得到β因子的理论值。

      由公式(1)可知:探测平面上的光场分布是物平面函数的傅立叶变换,即s-fft算法[13-14]。为了保证采用s-fft算法计算光场的正确性,需要解决3个技术问题:(1)满足采样定理的要求;(2)解决频率泄露和混叠误差;(3)解决多标度问题,确保远场计算具有足够的分辨力。

      采样定理要求物平面上的采样间隔Δx0满足:

      $$\Delta {x_0} {\text{≤}} \sqrt {\dfrac{{\lambda f}}{N}} ,$$ (2)

      其中,N为物平面上的采样点数。那么满足采样定理的物平面上的尺寸L0为:

      $${L_0} = N\Delta {x_0}{\text{≤}} \sqrt {\lambda fN},$$ (3)

      而相应的探测面上的计算范围为:

      $$L = \dfrac{{\lambda fN}}{{{L_0}}}.$$ (4)

      从式(4)可以看出:在实际情况下,衍射观察屏(即探测面)的大小L与采样点数N、光波长λ、衍射距离f以及初始衍射面尺寸L0 4个因素相关。由于波长、采样点数、初始衍射面大小均由实际情况决定,当衍射距离过大时,若衍射面画幅尺寸过大,则会得到一个很小区域的衍射图像,导致衍射场计算分辨率不高。因此,s-fft算法有一定的局限性。

      为了更直观地说明上述问题,以实际高能激光系统为例进行计算。设入射光束口径W=100 mm,考虑到保护区的范围,取物平面上的计算尺寸L0=4W=400 mm,采样点数N=1024,波长λ=1 μm,则物平面上的采样间隔Δx0=L0/N≈0.4 mm。假设远场分布的计算范围为L=λ×fx0,根据离散傅立叶变换,那么远场的视场全角为Θ=λx0≈2.5×103 μrad,视场分辨率Δθ=Θ/N≈2.5 μrad,一倍衍射极限全角θ0=2.44λ/W=24.4 μrad,由此可得1倍衍射极限内只有N0=θ0θ≈10个点,不能分辨焦点处的光场分布细节。考虑到一般探测器最多能探测到五级亮环,其他的外围信号将被噪声所淹没,可以估算得到5倍衍射极限内的有效数据点约为N5=5×N0=50,这意味着1维情况下约有950个点是无效数据。

      根据视场分辨率表达式Δθ=Θ/N=λ/(Δx0·N),要提高视场分辨率只有增大Δx0N,但是增大Δx0将可能使得计算不满足采样定理,而增加N将极大地增加计算量。最理想的结果是在不增加采样点数N的情况下提高分辨率。基于上述考虑,本文提出了二维线性调频Z变换算法,并将其用于计算光场衍射分布。

    • 通过调研发现振动信号分析领域中的线性调频Z变换更适用于频谱的精细分析[15-17]。该变换可以对感兴趣的频谱区间进行细分,进而提高频谱分辨率,这一定程度上为改变远场光斑的分布细节提供了可能。

      首先,需要分析如何将一维的线性调频Z变换扩展到光场的二维快速傅立叶变换中。根据光场分布理论可知,需要将光场物平面的xy方向转换为探测面上衍射光场的空间频率fxfy

      二维线性调频Z变换的定义如下:

      $${{X}}\left( {{{\bf{z}}_p},{{\bf{z}}_q}} \right) = \sum\limits_{{k_{_x}} = 0}^{{N_x} - 1} {\sum\limits_{{k_y} = 0}^{{N_y} - 1} {{{x}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right)Z_x^{ - {k_x}}Z_y^{ - {k_y}}} } ,$$ (5)

      其中:

      $$\begin{split} &{Z_x}^{ - {k_x}} = {\left( {{A_x}{W_x}^{ - p}} \right)^{ - {k_x}}} = {A_x}^{ - {k_x}}W_x^{p \cdot {k_x}}\;\;\;\;\;p = 0,1,2,...{M_x}{\rm{ - }}1\\ &{Z_y}^{ - {k_y}} = {\left( {{A_y}{W_y}^{ - q}} \right)^{ - {k_y}}} = {A_y}^{ - {k_y}}W_x^{q \cdot {k_y}}\;\;\;\;\;\;q = 0,1,2,...{M_y}{\rm{ - }}1\\ &{A_x} = {A_0}{e^{\textstyle\frac{{j2\text{π} {f_0}}}{{{M_x}}}}}\;\;\;\;\;{A_y}=A_0{e}^{\textstyle\frac{j2{\text{π}}{f_0}}{M_y}}\\ &{W_x} = {W_0}{e^{ - \textstyle\frac{{j2\text{π} \Delta f}}{{{M_x} \cdot N}}}}\;\;\;\;\;{W_y}=W_0{e}^{\textstyle\frac{-j2{\text{π}}\Delta{f}}{M_y \cdot N}},\\[-10pt] \end{split}$$ (6)

      其中,二维线性调频Z变换前的光场分布为x(kxky),矩阵大小为Nx×Ny;二维线性调频Z变换后的光场分布为X(zpzq),矩阵大小为Mx×MyMxNx可以相等或者不相等,MyNy可以相等或者不相等。当A0W0取值为1即为离散傅立叶变换,f0和Δf分别表示起始频率和频带宽度。

      那么,将公式(6)带入公式(5)可以得到:

      $$\begin{split} {{X}}\left( {{{\bf{z}}_p},{{\bf{z}}_q}} \right) =\;& \sum\limits_{{k_{_x}} = 0}^{{N_x} - 1} {\sum\limits_{{k_y} = 0}^{{N_y} - 1} {{{x}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right)A_x^{ - {k_x}}W_x^{p \cdot {k_x}}A_y^{ - {k_y}}W_y^{q \cdot {k_y}}} } \\ =\;& W_x^{\textstyle\frac{{{p^2}}}{2}}W_y^{\textstyle\frac{{{q^2}}}{2}}\!\!\sum\limits_{{k_{_x}} = 0}^{{N_x} - 1} {\sum\limits_{{k_y} = 0}^{{N_y} - 1} {{{x}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right)A_x^{ - {k_x}}W_x^{\textstyle\frac{{{k_x}^2}}{2}}W_x^{ - \textstyle\frac{{{{\left( {p - {k_x}} \right)}^2}}}{2}}} }\cdot \\ & A_y^{ - {k_y}}W_y^{\textstyle\frac{{{k_y}^2}}{2}}W_y^{ - \textstyle\frac{{{{\left( {q - {k_y}} \right)}^2}}}{2}},\\[-10pt] \end{split}$$ (7)

      公式(7)的计算利用了如式(8)所示的布鲁斯坦等式:

      $$\begin{split} & p{k_x} = \dfrac{{{k_x}^2 + {p^2}}}{2} - \dfrac{{{{\left( {p - {k_x}} \right)}^2}}}{2} \\ &q{k_y} = \dfrac{{{k_y}^2 + {q^2}}}{2} - \dfrac{{{{\left( {q - {k_y}} \right)}^2}}}{2} . \end{split} $$ (8)

      根据公式(7)可以定义二维线性调频Z变换的相应形式:

      $$\begin{split} &{{g}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right) = {{x}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right) \cdot A_x^{ - {k_x}}A_y^{ - {k_y}}W_x^{\textstyle\frac{{{k_x}^2}}{2}}W_y^{\textstyle\frac{{{k_y}^2}}{2}}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{h}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right) = W_x^{ - \textstyle\frac{{{k_x}^2}}{2}}W_y^{ - \textstyle\frac{{{k_y}^2}}{2}}\\ &{{X}}\left( {{{\bf{z}}_p},{{\bf{z}}_q}} \right) = W_x^{\textstyle\frac{{{p^2}}}{2}}W_y^{\textstyle\frac{{{q^2}}}{2}}\left( {{{g}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right) * {{h}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right)} \right). \end{split}$$ (9)

      由于g(kxky)的矩阵大小为Nx×Ny,而最终需要计算的是Mx×My点的卷积值,二者不一定相等。针对此问题,可以计算Lx×Ly点的g(kxky)矩阵的傅立叶变换和Lx×Ly点的h(kxky)矩阵的傅立叶变换,再对这两个傅立叶变换的乘积进行傅立叶逆变换,就是得到它们的卷积,进而可以得到X(zpzq)。其中Lx=Nx+Mx−1, Ly=Ny+My−1。

      二维Z变换g(kxky)函数可定义为:

      $${{g}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right) \!=\! \left\{ \begin{aligned} \\[-6pt]& {{{x}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right) \cdot A_x^{ - {k_x}}A_y^{ - {k_y}}\!\!W_x^{\textstyle\frac{{{k_x}^2}}{2}}W_y^{\textstyle\frac{{{k_y}^2}}{2}}}\\ \\& 0\\&\end{aligned} \begin{aligned} \!\!\!\!\!&0{ {\text{≤}}{k_x} {\text{≤}}{N_x} \!- 1}\\ \!\!\!\!\!& 0 {\text{≤}}{k_y} {\text{≤}}{N_y}\! - 1\\ \!\!\!\!\!&{N_x} {\text{≤}}{k_x} {\text{≤}}{L_x} \!- 1\\ \!\!\!\!\!&{N_y} {\text{≤}}{k_y} {\text{≤}}{L_y}\! - 1 \end{aligned} \right.\!\!,$$ (10)

      相应的h(kxky)函数的定义为:

      $${{h}}\left( {{{{k}}_x},{{{k}}_y}} \right) = \left\{ {\begin{aligned} & {W_x^{ - \textstyle\frac{{{k_x}^2}}{2}}W_y^{ - \textstyle\frac{{{k_y}^2}}{2}}}&\begin{array}{l} 0 {\text{≤}}{k_x} {\text{≤}}{M_x} - 1\\ 0 {\text{≤}}{k_y} {\text{≤}}{M_y} - 1 \end{array}\\ & {{W_x}^{ - \textstyle\frac{{\left( {{L_{_x}} - {k_x}} \right)}^2}{2}} {W_y}^{ - \textstyle\frac{{\left( {{L_{_y}} - {k_y}} \right)}^2}{2}}}&\begin{array}{l} {M_x} {\text{≤}}{k_x} {\text{≤}}{L_x} - 1\\ {M_y} {\text{≤}}{k_y} {\text{≤}}{L_y} - 1 \end{array} \end{aligned}}\right.\!\!\!,$$ (11)

      因此,上述算法的计算流程如图1所示。

      图  1  二维Z变换算法流程图

      Figure 1.  Flowchart of two-dimensional chirp Z transformation (CZT)

    • 基于上述图1所示的二维线性调频Z变换算法的思路,编写了相应的matlab计算程序。为了验证算法的正确性,计算了激光束通过圆形透光孔后在焦平面上的衍射强度分布,计算结果如图2~图3所示。图2(a)给出了线性调频Z变换在x方向上的计算路径,通过调整相关参数可以控制计算路径的起始位置以及相邻取样点的角度差,相邻取样点的角度差代表了感兴趣频谱区间内的频谱分辨率。图2(b)给出了计算过程中使用的圆形透光孔函数。计算过程中参数设置如下:λ=1 μm,光束口径D=0.1 m,考虑到保护区域即物平面的计算尺度,取L0=0.4 m,物平面上的取样点数N=1024,采用线性调频Z变换算法计算得到的探测面上的二维光强分布如图3所示。其中,图3(a)给出了采用线性调频Z变换算法计算得到的探测面上的二维衍射光强分布。图3(b)给出了探测面上一维衍射强度的分布曲线。

      图  2  (a)线性调频Z变换的计算路径和(b)透光孔函数

      Figure 2.  (a) The calculation path of CZT algorithm and (b) transparent hole function used in the calculation

      图  3  (a)探测面上的衍射光强分布及(b)衍射强度曲线

      Figure 3.  (a) Diffraction intensity distribution at the detection plane and (b) diffraction intensity curve in one dimension

      归一化平面波的远场理想光强分布的理论表达式为:

      $$I\left( x \right) = {\left[ {\dfrac{{2{J_1}\left( {\text{π} x} \right)}}{{\text{π} x}}} \right]^2}.$$ (12)

      公式(12)中x的单位为λ/D,精确计算采用1倍衍射极限x=1.2197,环围能量P(x)=83.7785%。根据公式(12)计算得到的探测面上的光强分布如图3(b)中的实线所示,而采用二维线性调频Z变换算法的计算结果如图3(b)中的点所示。从图3(b)可以看出,采用理论公式计算的衍射强度分布与采用线性调频Z变换算法得到的分布相吻合,衍射极小值,即艾里斑角半径为1.22λ/D。这也与所用的圆形透光孔函数对应的衍射极小值一致,从而验证了算法的正确性。同时采用二维CZT算法计算的光束质量β因子值为1.008,数值计算误差小于1%。

      为了进一步比较s-fft算法与二维CZT算法在衍射图像分辨率计算结果方面的差异,分别计算了加载相同RMS值的彗差像差板情况下对应的衍射强度分布图,分别如图4(a)图4(b)所示。从图中可以看出:在图4(a)中采用的s-fft算法由于探测面的计算范围过宽导致探测面上光强分布的有效数据点较少,图像分辨率低。而在图4(b)中由于采用CZT算法可以在感兴趣的频谱区间(5倍衍射极限范围)内进行频谱细分,因此,其探测面上光强分布的计算结果有效数据点多、图像分辨率高,光斑强度分布的细节更为清晰,进而使得光束质量β因子的计算结果更加准确。

      在实际光学和激光系统的设计、分析以及校准过程中,经常需要知道波像差与光束质量β因子的对应关系,例如要达到一定的β值,需要将波像差的PV值和RMS值控制在多少。另一方面在实际工程应用中,也同样需要知道哪几种类型的像差对光束质量β因子的影响最显著,进而在实际光学系统设计中对该类型的像差进行控制和修正。因此,分析计算不同单一像差或组合像差对光束质量β因子的影响十分重要。

      图5分别给出了彗差和球差两种像差类型下探测面上的衍射光强分布图。可以看出,波像差均方根值(RMS值都为0.5λ)相同时,不同的像差类型对应的衍射强度分布图样不同,对应的光束质量β因子也不同。这种“环带状”的球差波前畸变(图5(b))使得远场探测面上的光束更为发散,对应的光束质量β因子的计算结果为12.55;而相同RMS值下的彗差像差(图5(a))对应的光束质量β因子仅为3.29。从图5可以看出:由于Z变换算法可以在感兴趣的频段内(衍射光强主要集中在低频段)进行频谱细分,因此,探测面上的衍射图像细节更为清晰(相较于s-fft算法),也即采用线性调频Z变换算法计算得到的光束质量β因子值更为准确。同时在仿真中还发现将像差板波像差的均方根RMS值设置为足够小(0.01λ及以下)时,与没有加载像差时的圆孔衍射效果一致,进一步证明了算法的正确性和有效性。

      图  4  (a)s-fft算法及(b)CZT算法的衍射强度分布

      Figure 4.  Diffraction distributions of (a) s-fft algorithm and (b) CZT algorithm

      图  5  (a)彗差和(b)球差对应的探测面上的衍射强度分布

      Figure 5.  Diffraction distributions of (a) coma wavefront aberration and (b) spherical wavefront aberration

      为了定量描述像差RMS值对光束质量β因子的影响,分别模拟了几种低阶像差类型的光束质量β因子以及相应的桶中功率(PIB)随波像差RMS值的变化情况。其中,桶中功率PIB定义为在理想光束的艾里斑半径内所包含的能量占总能量的百分比。从图6(a)可以看出,在相同的RMS值下,不同像差类型对β的影响程度排序为:球差最大,彗差次之,像散最小。实际光束由多种像差组合而成,其光束质量β因子介于球差与像散之间,其平均值大致与彗差相当。由于球差使得光束发散较快进而导致β因子最大。从图中还可以看出:在相同的像差大小(如RMS值为0.5λ)下,β因子的变化范围为3.28~12.55。同样地,从图6(b)桶中功率随波像差均方根值RMS的变化关系来看,波像差均方根RMS值越大,在“规范桶”半径内包含的能量越少。但球差对应的衍射光强分布由于“台阶”效应的存在,使得桶中功率PIB因子出现起伏。通过其他“环带状”的高阶像差的模拟分析还发现,带有“环带”的像差往往比其附近的像差类型对光束质量β因子的影响更大。

      图  6  (a)光束质量β因子和(b)桶中功率PIB随波像差RMS值的变化关系

      Figure 6.  (a)Beam quality β factor and (b) PIB changing with RMS of wavefront aberration

      由于实际光束或者光学系统的像差成分多为综合像差,也就意味着实际光束可以是前36阶泽尼克像差的各种组合。为了进一步分析各种随机像差对光束质量β因子的影响程度,本文模拟产生了1000组随机数,让每一组的随机数分别表示不同含量百分比的正交泽尼克多项式系数,也就是每一组随机数分别代表了各种不同像差占总像差的百分比含量,进而模拟1000组综合像差的不同组合方式。从图7(a)可以看出:在总像差RMS值都为0.1λ的各种不同像差组合方式中,β因子的变化范围为2.00~3.20,其统计分布如图7(b)所示。可以看出,β因子的均值为2.50±0.06。另外,本文进一步对这1000组随机像差组合方式对应的β因子最大最小值两种情况进行分析,其各阶Zernike系数如图8所示。

      图  7  随机像差对应的光束质量β因子波动(a)和β因子的统计分布(b)

      Figure 7.  (a)Fluctuation of β factor with random wavefront aberrations and (b) statistical distribution of the β factor

      图8给出了波像差均方根值为0.1λ时,光束质量β因子值分别为最大值和最小值时对应的Zernike系数分布图。从图8可以看出,虽然波像差的均方根值相同,但Zernike多项式的不同组合方式导致光束质量β因子相差1.2左右。从图8Zernike系数的分布图可知,这两种像差组合方式对应的高阶像差(15阶及以后)含量占比分别为69%和38%,二者之间的差值为31%。也就是说,如果两个光学系统的像差大小相同,一种以高阶像差为主,一种以低阶像差为主,那么以高阶像差为主的光学系统对应的β因子将比后者大。因此,高阶Zernike系数的含量越高,光束质量β因子越大。

      图  8  Zernike多项式系数分布图

      Figure 8.  Coefficient of Zernike polynomial

      图9给出了总的波像差均方根值分别为0.1λ~0.6λ时,各种随机像差组合方式下对应的光束质量β因子的变化情况。从图9可以看出:随着波像差均方根RMS值的增大,光束质量β因子的均值也在增加。对于同一波像差均方根值,不同的Zernike像差组合方式会引起光束质量β因子值的变化,统计其光束质量β因子的均值和实验标准偏差,如表1所示。从表1可以看出,在β因子均值增加的同时,其统计分布的实验标准偏差也在增加。

      表 1  光束质量β因子统计结果

      Table 1.  Statistical results of the β factor

      波像差RMS值β因子统计均值β因子标准偏差
      0.1λ2.500.06
      0.2λ4.420.04
      0.3λ6.560.07
      0.4λ8.660.10
      0.5λ10.810.13
      0.6λ12.640.16
      0.7λ14.870.18
      0.8λ17.110.21
      0.9λ18.670.22
      1.0λ20.900.24

      图  9  不同均方根RMS值的随机像差对应的β因子变化情况

      Figure 9.  Variation in the β factor corresponding to random wavefront aberrations for different RMS values

    • 本文提出了一种基于二维线性调频Z变换的光场分布快速计算方法。该算法在不增加采样点数且基本不增加运算量的情况下,借助能够在感兴趣频谱区间进行频谱细分的优势,能够显著提高衍射光场分布的频谱分辨率,进而提高光束质量β因子理论计算的准确性。在算法正确性验证的基础上,分别计算了不同像差类型对应的光束质量β因子值。计算结果表明,在低阶像差中球差对光束质量β因子的影响最大。各种随机像差下的光束质量β因子分析表明,高阶像差占比较高的像差组合方式对应的光束质量β因子较大。在波像差RMS值都为0.1λ的各种随机像差组合方式中,β因子计算结果相差可达1.2。本文研究为标准像差板的选取原则和方法提供了技术支持,也为后续采用基于大口径平行光管和标准像差板进行光束质量β因子测量系统的校准提供了技术依据。

      致谢:感谢中国工程物理研究院应用电子学研究所的黄德权与作者的有益讨论。

参考文献 (17)

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