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扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流传输影响的抑制

张滢 马超群 朱时军 刘晓旭 蔡和 安国斐 王浟

张滢, 马超群, 朱时军, 刘晓旭, 蔡和, 安国斐, 王浟. 扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流传输影响的抑制[J]. 中国光学. doi: 10.37188/CO.2020-0138
引用本文: 张滢, 马超群, 朱时军, 刘晓旭, 蔡和, 安国斐, 王浟. 扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流传输影响的抑制[J]. 中国光学. doi: 10.37188/CO.2020-0138
ZHANG Ying, MA Chao-qun, ZHU Shi-jun, LIU Xiao-xu, CAI He, AN Guo-fei, WANG You. Suppression of the influence of atmospheric turbulence during the propagation of a twisted laguerre-gaussian correlated beam[J]. Chinese Optics. doi: 10.37188/CO.2020-0138
Citation: ZHANG Ying, MA Chao-qun, ZHU Shi-jun, LIU Xiao-xu, CAI He, AN Guo-fei, WANG You. Suppression of the influence of atmospheric turbulence during the propagation of a twisted laguerre-gaussian correlated beam[J]. Chinese Optics. doi: 10.37188/CO.2020-0138

扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流传输影响的抑制

doi: 10.37188/CO.2020-0138
基金项目: 中央高校基本科研专项资金(No. 30919011293)
详细信息
    作者简介:

    张 滢(1997—),女,重庆人,硕士研究生,2019年于南京理工大学获得学士学位,主要从事光束传输、激光应用、激光加工方面的研究。E-mail:466122139@qq.com

    王 浟(1966—),男,江苏连云港人,工学博士,教授,博士生导师,主要从事激光技术、激光应用、光学工程、导波光学、量子光学、生物医学光学等方面的研究。E-mail:youwang_2007@aliyun.com

  • 中图分类号: TN929.12

Suppression of the influence of atmospheric turbulence during the propagation of a twisted laguerre-gaussian correlated beam

Funds: Supported by Fundamental Research Funds for the Central Universities (No. 30919011293)
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  • 摘要: 激光光束在大气湍流传输过程中会受到环境的影响并导致其光学特性发生变化,而部分相干光相对于传统的完全相干光而言,能够减小大气湍流所带来的负面影响。本文选择了携带扭曲相位的拉盖尔—高斯关联光束,并基于拓展的惠更斯—菲涅尔衍射积分理论、Wigner函数分布、扭曲相位的基本性质以及非柯尔莫哥洛夫湍流的功率谱模型,导出了该光束在大气湍流环境中传输的交叉谱密度函数和光束质量因子。本文使用构建的数学模型,数值模拟了在不同扭曲因子、横截面相干度和光束阶数的条件下大气湍流对光束的影响。理论结果表明,携带高扭曲因子、低截面向相干性的高阶拉盖尔—高斯关联光束能够有效抑制大气湍流的影响。本文的研究结论有助于优化光束在大气湍流中的传输性能,具有一定的实际指导意义。
  • 图  1  理论推导的流程图

    Figure  1.  Flow chart of theoretical derivation

    图  2  扭曲拉盖尔—高斯光束在大气湍流中不同传输距离下的平均光强分布。(a) ${\textit{z}} = {\rm{0}}.1\;{\rm{ km}}$ ; (b) ${\textit{z}} = 3\;{\rm{ km}}$ ; (c) ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ ; (d) ${\textit{z}} = 20\;{\rm{ km}}$

    Figure  2.  Normalized intensity of a TLGC beam in atmospheric turbulence at different distances where ${\textit{z}} = {\rm{0}}.1\;{\rm{ km}}$ (a), ${\textit{z}} = 3\;{\rm{ km}}$ (b), ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ (c), and ${\textit{z}} = 20\;{\rm{ km}}$ (d)

    图  3  扭曲拉盖尔—高斯光束在 ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ 处受不同参数影响下的平均光强分布。(a)功率指数 $\alpha $ ;(b)湍流外尺度 ${L_0}$ 和湍流内尺度 ${l_0}$ ;(c)扭曲因子 $\mu $ ;(d)横截面相干度 ${\delta _0}$

    Figure  3.  Normalized intensity distribution of a TLGCSM beam in atmospheric turbulence at ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ with varying parameters of power index $\alpha $ (a), outer scale of turbulence ${L_0}$ and inner scale of turbulence ${l_0}$ (b), twisted factor $\mu $ (c), and transverse coherence parameter ${\delta _0}$ (d)

    图  4  扭曲拉盖尔—高斯关联光束在大气湍流传输中的归一化M2因子随不同参数的变化情况。(a)功率指数 $\alpha $ ;(b)传输距离 ${\textit{z}}$ ;(c)扭曲因子 $\mu $ ;(d)横截面相干度 ${\delta _0}$

    Figure  4.  Normalized M2-factor of a TLGCSM beam in atmospheric turbulence varied with different parameters of power index $\alpha $ (a), transmission distance ${\textit{z}}$ (b), twisted factor $\mu $ (c), and transverse coherence parameter ${\delta _0}$ (d)

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出版历程
  • 收稿日期:  2020-08-06
  • 修回日期:  2020-09-17

扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流传输影响的抑制

doi: 10.37188/CO.2020-0138
    基金项目:  中央高校基本科研专项资金(No. 30919011293)
    作者简介:

    张 滢(1997—),女,重庆人,硕士研究生,2019年于南京理工大学获得学士学位,主要从事光束传输、激光应用、激光加工方面的研究。E-mail:466122139@qq.com

    王 浟(1966—),男,江苏连云港人,工学博士,教授,博士生导师,主要从事激光技术、激光应用、光学工程、导波光学、量子光学、生物医学光学等方面的研究。E-mail:youwang_2007@aliyun.com

  • 中图分类号: TN929.12

摘要: 激光光束在大气湍流传输过程中会受到环境的影响并导致其光学特性发生变化,而部分相干光相对于传统的完全相干光而言,能够减小大气湍流所带来的负面影响。本文选择了携带扭曲相位的拉盖尔—高斯关联光束,并基于拓展的惠更斯—菲涅尔衍射积分理论、Wigner函数分布、扭曲相位的基本性质以及非柯尔莫哥洛夫湍流的功率谱模型,导出了该光束在大气湍流环境中传输的交叉谱密度函数和光束质量因子。本文使用构建的数学模型,数值模拟了在不同扭曲因子、横截面相干度和光束阶数的条件下大气湍流对光束的影响。理论结果表明,携带高扭曲因子、低截面向相干性的高阶拉盖尔—高斯关联光束能够有效抑制大气湍流的影响。本文的研究结论有助于优化光束在大气湍流中的传输性能,具有一定的实际指导意义。

English Abstract

张滢, 马超群, 朱时军, 刘晓旭, 蔡和, 安国斐, 王浟. 扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流传输影响的抑制[J]. 中国光学. doi: 10.37188/CO.2020-0138
引用本文: 张滢, 马超群, 朱时军, 刘晓旭, 蔡和, 安国斐, 王浟. 扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流传输影响的抑制[J]. 中国光学. doi: 10.37188/CO.2020-0138
ZHANG Ying, MA Chao-qun, ZHU Shi-jun, LIU Xiao-xu, CAI He, AN Guo-fei, WANG You. Suppression of the influence of atmospheric turbulence during the propagation of a twisted laguerre-gaussian correlated beam[J]. Chinese Optics. doi: 10.37188/CO.2020-0138
Citation: ZHANG Ying, MA Chao-qun, ZHU Shi-jun, LIU Xiao-xu, CAI He, AN Guo-fei, WANG You. Suppression of the influence of atmospheric turbulence during the propagation of a twisted laguerre-gaussian correlated beam[J]. Chinese Optics. doi: 10.37188/CO.2020-0138
    • 激光在自由空间传输过程中会受到大气湍流的影响而出现光束漂移、光强闪烁等现象,这将导致其光束传输质量的下降。因此,通过光场调控来抑制大气湍流的影响成为重要的研究课题[1-5]。研究学者们发现,部分相干光对大气湍流的抑制效应比完全相干光要强,其中,携带扭曲相位的部分相干光理论在近二十多年来得到了快速地发展。扭曲相位这一概念最初是由Simon和Mukunda等人于1993年提出的,它无法分解为两个一维坐标参量的乘积,他们同时理论构建了高斯-谢尔模光束被扭曲后的理论模块,并分析了此新型光束的传输特性[6]。1994年,Friberg等人结合前人的理论首次实验产生了扭曲高斯-谢尔模光束,但是,他们的实验光路复杂而且重复性较差[7]。由于扭曲相位因子的大小受到正定性的限制,并非所有的光束都能携带扭曲相位,所以,从那以后的研究一直局限于常见的相干光束。直到2007年,情况才有所改变,Gori等人提出了在Hilbert空间再生核理论的正定性判断条件,这就为探索新型随机光场的相干结构提供了重要的理论支撑[8]。之后,Borghi和Gori在2015年提出了轴对称的谢尔模关联光束被扭曲的条件[9],随后他们又在2018年证明了光束能否被扭曲只与光场的相干结构有关,并给出了判断相干结构是否能携带扭曲相位的判据[10, 11]。通过构造新型的相干结构对相位进行调控,可以使扭曲光束抗湍流的能力得到进一步的增强,此外,还能使光束携带轨道角动量[12, 13],这将在自由空间光通信、光学成像、非线性光学等领域有着重要的应用前景[14-16]。拉盖尔—高斯关联(LGC)光束作为具有特殊关联结构的新颖光束,在自由空间光通信和光学捕获等应用领域受到了研究学者们的广泛关注。本文为了研究携带扭曲相位的特殊关联结构激光光束对大气湍流的抑制效果,特地选择了扭曲拉盖尔—高斯关联(TLGC)光束,推导出了该激光光束在大气湍流中传输的交叉光谱密度函数和光束质量因子,并对其传输特性进行了相关的分析。

    • 文章从扭曲拉盖尔—高斯光束源点处的交叉谱密度函数出发,结合拓展的Huygens-Fresnel衍射积分公式和大气湍流模型,推导得到光束传输过程中的交叉谱密度函数和光束质量因子M2。为了直观地显示理论推导过程,理论推导的流程图如图1所示。

      图  1  理论推导的流程图

      Figure 1.  Flow chart of theoretical derivation

    • 假设光束沿z轴的正方向传播,扭曲拉盖尔—高斯关联光束在源平面 ${\textit{z}} = 0$ 内,任意一组位置矢量 ${{{r}}_1} = \left( {{x_1},{y_1}} \right)$ ${{{r}}_2} = \left( {{x_2},{y_2}} \right)$ 所对应的交叉光谱密度函数可表示为:

      $$\begin{split} & {W_{\rm{s}}}\left( {{{{r}}_1},{{{r}}_2};0} \right){\rm{ = }}\exp \left[ { - \dfrac{{{{r}}_1^2 + {{r}}_2^2}}{{4\sigma _0^2}} - \dfrac{{{{\left( {{{{r}}_1} - {{{r}}_2}} \right)}^2}}}{{{\delta ^2}}}} \right] \times\\ & \;\;\;\; {L_m}\left[ {\dfrac{{{{\left( {{{{r}}_1} - {{{r}}_2}} \right)}^2}}}{{{\delta _0}^2}}} \right]\exp \left[ { - k\mu {\rm{i}}\left( {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)} \right] \end{split} ,$$ (1)

      其中, ${\sigma _0}$ 为光束腰宽, ${\delta _0}$ 为横截面相干度, $L_m^{}$ 为阶数为m的标准拉盖尔多项式, $k$ 为波数, $\mu $ 为扭曲因子, $\dfrac{1}{{{\delta ^2}}}{\rm{ = }}\dfrac{1}{{8\sigma _0^2}} + \dfrac{1}{{2\delta _0^2}} + \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}{\mu ^2}}}{2}$

      利用拓展的Huygens-Fresnel衍射积分[17, 18],在傍轴近似条件下,当光束在大气湍流传输距离为 ${\textit{z}}$ 时,其交叉谱密度函数 $W({{{\rho }}_1},{{{\rho }}_2}) = \left\langle {E^{\rm{*}}}({{{\rho }}_1},{\textit{z}}) E({{{\rho }}_2},{\textit{z}}) \right\rangle$ 可表示为[19, 20]

      $$\begin{split} & W\left( {{{{\rho }}_1},{{{\rho }}_2};{\textit{z}}} \right) = {\left( {\dfrac{k}{{2{\text{π}} {\textit{z}}}}} \right)^2}\int {\iiint {{W_{\rm{s}}}\left( {{{{r}}_1},{{{r}}_2};0} \right)}} \times\\ &\;\;\;\; \exp \left\{ { - \dfrac{{{\rm{ik}}}}{{2{\textit{z}}}}\left[ {{{\left( {{{{r}}_1} - {{{\rho }}_{\rm{1}}}} \right)}^2} - {{\left( {{{{r}}_2} - {{{\rho }}_2}} \right)}^2}} \right]} \right\} \times\\ & \;\;\;\; {\left\langle {\exp \left[ {\Psi \left( {{{{r}}_1},{{{\rho }}_1}} \right) + {\Psi ^ * }\left( {{{{r}}_2},{{{\rho }}_2}} \right)} \right]} \right\rangle _{\rm{m}}}{{\rm{d}}^2}{{{r}}_1}{{\rm{d}}^2}{{{r}}_2}\;\;\;\;, \end{split}$$ (2)

      其中,“<>”表示系综平均,“*”表示复共轭, ${{{\rho}} _1}{\rm{ = }}\left( {{u_1},{v_1}} \right)$ ${{{\rho}} _2}{\rm{ = }}\left( {{u_2},{v_2}} \right)$ 为接收平面内任意一组位置矢量。 $\Psi $ 为球面波在大气湍流中从源平面传输到接收面时复相位的随机项,含有共轭部分的指数项可写为[21]

      $$\begin{split} &{\left\langle {\exp \left[ {\Psi \left( {{{{r}}_1},{{{\rho }}_1}} \right) + {\Psi ^*}\left( {{{{r}}_2},{{{\rho }}_2}} \right)} \right]} \right\rangle _{\rm{m}}} =\\ & \;\;\;\; {\rm{exp\{ }} - 4{\pi ^2}{k^2}{\textit{z}}\int_0^1 {\int_0^\infty 1 } - \\ &\;\;\;\; {J_0}\left( {\kappa \left| {u({{{r}}_1} - {{{r}}_2}) + (1 - u)({{{\rho }}_1} - {{{\rho }}_2})} \right|} \right) \times\\ & \;\;\;\; {\Phi _n}\left( {\kappa ,\alpha } \right)dud\kappa {\rm{\} }} \;\;\;\;, \end{split} $$ (3)

      其中, ${\Phi _n}\left( {\kappa ,\alpha } \right)$ 是湍流介质折射率起伏的功率谱函数, $\kappa $ 为二维空间频率, ${J_0}$ 是第一类0阶贝塞尔函数,且当 $\kappa \left| {u({{{r}}_1} - {{{r}}_2}) + (1 - u)({{{\rho }}_1} - {{{\rho }}_2})} \right| \ll 1$ 时,可近似表示为[22]

      $$\begin{split} & {J_0}\left( {\kappa \left| {u({{{r}}_1} - {{{r}}_2}) + (1 - u)({{{\rho }}_1} - {{{\rho }}_2})} \right|} \right) \approx \\ & \;\;\;\;1 - \frac{1}{4}{\left( {\kappa \left| {u({{{r}}_1} - {{{r}}_2}) + (1 - u)({{{\rho }}_1} - {{{\rho }}_2})} \right|} \right)^2}\;\;\;\;. \end{split} $$ (4)

      根据Tosell提出的非k谱湍流理论, ${\Phi _n}\left( {\kappa ,\alpha } \right)$ 可表示为[19]

      $$\begin{split} & {\Phi _n}\left( {\kappa ,\alpha } \right) = A(\alpha )\tilde C_n^2 \times\\ & \;\;\;\;\dfrac{{\exp \left[ { - {\kappa ^2}/\kappa _m^2} \right]}}{{{\kappa ^2} + \kappa _0^2}},0 {\text{≤}} \kappa < \infty ,3 < \alpha < 4 \end{split}\;\;\;\;, $$ (5)

      式中, $\alpha $ 为功率指数, ${\kappa _0} = 2\pi /{L_0}$ ${\kappa _m} = c(\alpha )/{l_0}$ ${L_0}$ ${l_0}$ 分别代表湍流外尺度和湍流内尺度, $\tilde C_n^2$ 为广义折射率结构常数,单位是 ${{\rm{m}}^{3 - \alpha }}$ $A(\alpha ) = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}\Gamma (\alpha - 1)\cos \left(\dfrac{{\alpha \pi }}{2}\right)$ $c(\alpha ) = {\left[ {2\pi {\rm{\Gamma }}(5 - \alpha /2)A(\alpha )/3} \right]^{1/(\alpha {\rm{ - }}5)}}$ ,这里 $\Gamma \left( \cdot \right)$ 表示Gamma函数。

      将式(4)和式(5)代入式(3)可得到:

      $$\begin{split} & {\left\langle {\exp \left[ {\Psi \left( {{{{r}}_1},{{{\rho }}_1}} \right) + {\Psi ^*}\left( {{{{r}}_2},{{{\rho }}_2}} \right)} \right]} \right\rangle _{\rm{m}}} =\\ & \;\;\;\; {\rm{exp\{ }} - \dfrac{{{\pi ^2}{k^2}T{\textit{z}}}}{3}{\rm{[}}{({{{r}}_1} - {{{r}}_2})^2} +\\ & \;\;\;\;({{{r}}_1} - {{{r}}_2})({{{\rho }}_1} - {{{\rho }}_2}) + {({{{\rho }}_1} - {{{\rho }}_2})^2}{\rm{]\} }} \end{split}\;\;\;\;, $$ (6)

      其中,

      $T \!=\! \dfrac{{A(\alpha )\tilde C_n^2}}{{2(\alpha - 2)}}\left[ {\beta \kappa _m^{2 - \alpha }\exp \left(\dfrac{{\kappa _0^2}}{{\kappa _m^2}}\right){\Gamma _1}\left(2 \!-\! \dfrac{\alpha }{2},\dfrac{{\kappa _0^2}}{{\kappa _m^2}}\right) \!-\! 2\kappa _0^{4 - \alpha }} \right]$ $\beta = 2\kappa _0^2 - 2\kappa _m^2 + \alpha 2\kappa _m^2$ ${\Gamma _{\rm{1}}}\left( \cdot \right)$ 为不完全Gamma函数。

      将式(6)代入式(2),做一系列积分之后,可得到扭曲拉盖尔—高斯关联光束在传输距离为 ${\textit{z}}$ 处的交叉谱密度函数:

      $$\begin{split} & W\left( {{{{\rho }}_1},{{{\rho }}_2};{\textit{z}}} \right) = {\left( {\dfrac{k}{{2{\text{π}}{\textit{z}}}}} \right)^2}\sum\limits_{p = 0}^m {\sum\limits_{n = 0}^p {\left( \begin{array}{l} m \\ p \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} p \\ n \\ \end{array} \right)} } \times\\ &\;\;\;\; \dfrac{{2{{\text{π}}^2}\sigma _0^2}}{{{2^{2p}}p!{\delta _0}^{2p}{C^{p + 1}}}} \times \exp \left( {\dfrac{{\Pi _u^2 + \Pi _v^2}}{{4C}}} \right) \\ &\;\;\;\;\exp \left[ \begin{array}{l} - \left( {\dfrac{{{{\text{π}}^2}{k^2}T{\textit{z}}}}{3} + \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}}}{{2{{\textit{z}}^2}}}} \right) \times {\left( {{{{\rho }}_{\rm{1}}} - {{{\rho }}_2}} \right)^2} - \\ \dfrac{{{\rm{ik}}}}{{2{\textit{z}}}}\left( {{{\rho }}_1^2 - {{\rho }}_2^2} \right) \\ \end{array} \right] \\ &\;\;\;\; {H_{2\left( {p - m} \right)}}\left( {{\rm{i}}\dfrac{{{\Pi _u}}}{{2\sqrt C }}} \right){H_{2m}}\left( {{\rm{i}}\frac{{{\Pi _v}}}{{2\sqrt C }}} \right) \;\;\;\;, \end{split} $$ (7)

      式中, ${H_m}\left( \cdot \right)$ 是m阶数的厄米多项式, $C = \dfrac{1}{{8\sigma _0^2}} + \dfrac{1}{{{\delta ^2}}} + \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}{\mu ^2}}}{2} + \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}}}{{2{{\textit{z}}^2}}} + \dfrac{{{{\text{π}}^2}{k^2}T{\textit{z}}}}{3}$ ${\Pi _u} = \dfrac{{ik}}{{\textit{z}}}{u_s} + \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}\mu }}{{\textit{z}}}{v_d} + \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}}}{{{{\textit{z}}^2}}}{u_d} - \dfrac{{{\pi ^2}{k^2}T{\textit{z}}}}{3}{u_d}$ ${\Pi _v} = \dfrac{{ik}}{{\textit{z}}}{v_s} - \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}\mu }}{{\textit{z}}}{u_d} + \dfrac{{\sigma _0^2{k^2}}}{{{{\textit{z}}^2}}}{v_d} - \dfrac{{{\pi ^2}{k^2}T{\textit{z}}}}{3}{v_d}$

    • 光束质量M2因子是评价光束在大气湍流中的传输质量的一个重要指标,下面从Wigner分布函数的二阶矩阵出发,计算扭曲拉盖尔—高斯关联光束的M2因子。为了简便计算,采取坐标代换: ${{{\rho }}_s} = {{\left( {{{{\rho }}_1}{\rm{ + }}{{{\rho }}_2}} \right)} / 2}$ ${{{\rho }}_d} = {{{\rho }}_1} - {{{\rho }}_2}$ ,则(2)式可被写成和差化的形式:

      $$\begin{split} & W\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}},{{{\rho }}_{\rm{d}}};{\textit{z}}} \right) = {\left( {\frac{k}{{2{\text{π}}{\textit{z}}}}} \right)^2}\int {\iiint {{W_{\rm{s}}}\left( {{{{r}}_{\rm{s}}},{{{r}}_{\rm{d}}};0} \right)}} \times\\ & \;\;\;\;\exp \left[ {\frac{{{\rm{ik}}}}{{\textit{z}}}\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}} - {{{r}}_{\rm{s}}}} \right)\left( {{{{\rho }}_{\rm{d}}} - {{{r}}_{\rm{d}}}} \right)} \right] \times\\ & \;\;\;\; \exp \left[ { - \frac{{{{\text{π}}^{\rm{2}}}{k^2}T{\textit{z}}}}{3}\left( {{{r}}_{\rm{d}}^2 + {{{r}}_{\rm{d}}} \cdot {{{\rho }}_{\rm{d}}} + {{\rho }}_{\rm{d}}^2} \right)} \right]{{\rm{d}}^2}{{{r}}_{\rm{s}}}{{\rm{d}}^2}{{{r}}_{\rm{d}}} \end{split} .$$ (8)

      结合文献[23]提出的运算方法,令 ${{{r}}_{\rm{s}}} = {{r}}_{\rm{s}}^{'} = \left( {x_{\rm{s}}^{'},y_s^{'}} \right)$ ${{{r}}_{\rm{d}}} = {{{\rho }}_{\rm{d}}} + {{{\textit{z}}{{{\kappa }}_{\rm{d}}}} / {k = \left( {{u_{\rm{d}}} + {{{\textit{z}}{{{\kappa }}_{{\rm{dx}}}}} / k},{v_{\rm{d}}} + {{{\textit{z}}{{{\kappa }}_{{\rm{dy}}}}} / k}} \right)}}$ ,则上式可以表示为:

      $$\begin{split} & W\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}},{{{\rho }}_{\rm{d}}};{\textit{z}}} \right) = {\left( {\dfrac{1}{{2{\text{π}}}}} \right)^2}\int {\iiint {{W_{\rm{s}}}\left( {{{r}}_{\rm{s}}^{'},{{{\rho }}_{\rm{d}}} + \dfrac{{\textit{z}}}{k}{{{\kappa }}_{\rm{d}}};0} \right)}} \times \\ &\;\;\;\; \exp \left[ { - \dfrac{{{{\text{π}}^{\rm{2}}}{k^2}T{\textit{z}}}}{3}\left( {\dfrac{{{{\textit{z}}^2}}}{{{k^2}}}{{\kappa }}_{\rm{d}}^2 + 3\dfrac{{\textit{z}}}{k}{{{\kappa }}_{\rm{d}}} + 3{{\rho }}_{\rm{d}}^2} \right)} \right] \times\\ & \;\;\;\; \exp \left[ {{\rm{i}}\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}} - {{r}}_{\rm{s}}^{'}} \right){{{\kappa }}_{\rm{d}}}} \right]{{\rm{d}}^2}{{{r}}_{\rm{s}}}{{\rm{d}}^2}{{{r}}_{\rm{d}}}\;\;\;\;, \end{split} $$ (9)

      其中, ${{{\kappa }}_{\rm{d}}} = \left( {{{\rm{\kappa }}_{{\rm{dx}}}},{{\rm{\kappa }}_{{\rm{dy}}}}} \right)$ 为空间-频率中的位置矢量,源平面处的交叉谱密度函数为:

      $$\begin{split} & {W_{\rm{s}}}\left( {{{r}}_{\rm{s}}^{'},{{{\rho }}_{\rm{d}}} + \frac{{\textit{z}}}{k}{{{\kappa }}_{\rm{d}}};0} \right) = {G_0} \times L_m^{}\left[ {\frac{1}{{2\delta _0^2}}{{\left( {{{{\rho }}_{\rm{d}}} + \frac{{\textit{z}}}{k}{{{\kappa }}_{\rm{d}}}} \right)}^2}} \right] \\ &\;\;\;\; \exp \left[ { - \frac{{{{r}}{{_{\rm{s}}^{'}}^2}}}{{2\sigma _0^2}} - \left( {\frac{1}{{8\sigma _0^2}} + \frac{1}{{2\delta _0^2}}} \right){{\left( {{{{\rho }}_{\rm{d}}} + \frac{{\textit{z}}}{k}{{{\kappa }}_{\rm{d}}}} \right)}^2}} \right] \times\\ &\;\;\;\; \exp \left\{ { - k\mu {\rm{i}}\left[ {y_{\rm{s}}^{'}\left( {{u_{\rm{d}}} + \frac{{\textit{z}}}{k}{\kappa _{{\rm{d}}x}}} \right) - x_{\rm{s}}^{'}\left( {{v_d} + \frac{{\textit{z}}}{k}{\kappa _{{\rm{dy}}}}} \right)} \right]} \right\} \;\;\;\;, \end{split} $$ (10)

      部分相干光的Wigner分布函数可通过对交叉谱密度方程进行二维傅里叶变换得到,即:

      $$\begin{split} & h\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}},{{\theta }},{\textit{z}}} \right) = {\left( {\frac{k}{{2{\text{π}}}}} \right)^2} \times \\ & \;\;\;\; \int {W\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}},{{{\rho }}_{\rm{d}}},{\textit{z}}} \right)} \exp \left( { - {\rm{ik}}{{\theta }} \cdot {{{\rho }}_{\rm{d}}}} \right){{\rm{d}}^2}{{{\rho }}_{\rm{d}}} \end{split}\;\;\;\;, $$ (11)

      其中, ${{\theta }} = \left( {{\theta _x},{\theta _y}} \right)$ 为相应矢量与 $z$ 轴的夹角, $k{\theta _x}$ $k{\theta _y}$ 分别为波矢在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的分量。将式(9)和式(10)代入式(11)中,则扭曲拉盖尔—高斯关联光束经过大气湍流后的Wigner分布函数可表示为:

      $$\begin{split} & h\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}},{{\theta }},{\textit{z}}} \right) = \frac{{{k^2}\sigma _0^2}}{{8{{\text{π}}^3}}}\iiint {\int {} } \times\\ &\;\;\;\; \exp \;\left( {{\rm{i}}{{{\rho }}_{\rm{s}}} \cdot {{{\kappa }}_{\rm{d}}} - {\rm{i}}k{{\theta }} \cdot {{{\rho }}_{\rm{d}}} - a{{\rho }}_{\rm{d}}^2 - b{{{\rho }}_{\rm{d}}}{{{\kappa }}_{\rm{d}}} - c{{\kappa }}_d^2} \right) \times\\ &\;\;\;\; L_m^{}\left[ {\frac{1}{{2\delta _0^2}}{{\left( {{{{\rho }}_{\rm{d}}} + \frac{{\textit{z}}}{k}{{{\kappa }}_d}} \right)}^2}} \right] \\ &\;\;\;\;\exp \left[ { - k\mu \sigma _0^2\left( {{u_{\rm{d}}}{\kappa _{{\rm{dy}}}} - {v_{\rm{d}}}{\kappa _{{\rm{d}}x}}} \right)} \right]{{\rm{d}}^2}{{{\kappa }}_d}{{\rm{d}}^2}{{{\rho }}_{\rm{d}}} \;\;\;\;, \end{split} $$ (12)

      式中, $a = \dfrac{{\sigma _0^2}}{2}{k^2}{\mu ^2} + {{\text{π}}^2}{k^2}T{\textit{z}} + \dfrac{1}{{8\sigma _0^2}} + \dfrac{1}{{2\delta _0^2}}$ $b = \sigma _0^2k{\mu ^2}{\textit{z}} + \dfrac{{\textit{z}}}{{4k\sigma _0^2}} + \dfrac{{\textit{z}}}{{k\delta _0^2}} + {{\text{π}}^2}kT{{\textit{z}}^2}$ $c = \dfrac{{\sigma _0^2}}{2}{{\textit{z}}^2}{\mu ^2} + \dfrac{{\sigma _0^2}}{2} + \dfrac{{{{\textit{z}}^2}}}{{8{k^2}\sigma _0^2}} + \dfrac{{{{\textit{z}}^2}}}{{2{k^2}\delta _0^2}} + \dfrac{{{{\text{π}}^2}T{{\textit{z}}^3}{\kappa ^2}}}{3}$

      部分相干光Wigner分布函数的 ${n_1} + {n_2} + {m_1} + {m_2}$ 阶矩阵定义为[24, 25]

      $$\begin{split} &\left\langle {{x^{n1}}{y^{n2}}{\theta ^{m1}}{\theta ^{m2}}} \right\rangle = \\ & \dfrac{1}{{\rm{I}}}\iint {{x^{n1}}{y^{n2}}{\theta ^{m1}}{\theta ^{m2}}h\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}},{{\theta }},{\textit{z}}} \right){{\rm{d}}^{\rm{2}}}{{{\rho }}_{\rm{s}}}}{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{{\theta }} \end{split}\;\;\;\;, $$ (13)

      其中, ${\rm{I}} = \displaystyle\iint {h\left( {{{{\rho }}_{\rm{s}}},{{\theta }},{\textit{z}}} \right){\rm{d}}}{{{\rho }}_{\rm{s}}}{\rm{d}}{{\theta }}$ 为光束的总辐照度。将式(11)、(12)代入式(13),可得到扭曲拉盖尔—高斯关联光束在大气湍流传输中的Wigner分布函数的二阶矩阵为:

      $$\begin{split} & \left\langle {{{\rho }}_{\rm{s}}^2} \right\rangle = \left\langle {u_{\rm{s}}^2} \right\rangle + \left\langle {v_{\rm{s}}^2} \right\rangle = \\ & \;\;\;\; \dfrac{{{{\textit{z}}^2}}}{{{k^2}}}\left[ {\dfrac{{2\left( {n + 1} \right)}}{{\delta _0^2}} + \frac{1}{{2\sigma _0^2}} + \frac{{4{{\text{π}}^2}{k^2}T{\textit{z}}}}{3}} \right] +\\ &\;\;\;\; 2\sigma _0^2{{\textit{z}}^2}{\mu ^2} + 2\sigma _0^2 \;\;\;\;, \end{split} $$ (14)
      $$\begin{split} & \left\langle {{{{\theta }}^2}} \right\rangle = \left\langle {\theta _x^2} \right\rangle + \left\langle {\theta _y^2} \right\rangle = \\ &\;\;\;\; \frac{1}{{{k^2}}}\left[ {\frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{{\delta _0^2}} + \frac{1}{{2\sigma _0^2}} + 4{{\text{π}}^2}{k^2}T{\textit{z}}} \right] + 2\sigma _0^2{\mu ^2} \end{split}\;\;\;\;, $$ (15)
      $$\begin{split} &\left\langle {{{{\rho }}_{\rm{s}}} \cdot {{\theta }}} \right\rangle = \left\langle {{u_s}{\theta _x}} \right\rangle + \left\langle {{v_s}{\theta _y}} \right\rangle =\\ &\;\;\;\; - \frac{{\textit{z}}}{{{k^2}}}\left[ {\frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{{\delta _0^2}} + \frac{1}{{2\sigma _0^2}} + 2{{\text{π}}^2}{k^2}T{\textit{z}}} \right] - 2\sigma _0^2{\mu ^2}{\textit{z}} \end{split}\;\;\;\;, $$ (16)

      部分相干光束在大气湍流传播后的M2因子用二阶矩定义为[26]

      $${M^2}\left( {\textit{z}} \right) = k{\left( {\left\langle {{{\rho }}_{\rm{s}}^2} \right\rangle \left\langle {{{{\theta }}^2}} \right\rangle - \left\langle {{{{\rho }}_{\rm{s}}} \cdot {{\theta }}} \right\rangle } \right)^{{1 / 2}}},$$ (17)

      将式(14)、(15)、(16)代入到式(17),得到扭曲拉盖尔—高斯关联光束在大气湍流传播后的M2因子为:

      $$\begin{split} &{M^2}\left( {\textit{z}} \right) = k\left\{ {\left[ \begin{array}{l} \dfrac{{2{{\textit{z}}^2}}}{{\delta _0^2{k^2}}}\left( {n + 1} \right) + \dfrac{{{{\textit{z}}^2}}}{{2\sigma _0^2{k^2}}} +\\ \dfrac{{4{{\text{π}}^2}T{{\textit{z}}^3}}}{3} + 2\sigma _0^2{{\textit{z}}^2}{\mu ^2} + 2\sigma _0^2 \\ \end{array} \right]} \right. \times\\ &\;\;\;\; \left[ \begin{array}{l} \dfrac{2}{{\delta _0^2{k^2}}}\left( {n + 1} \right) + \dfrac{1}{{2\sigma _0^2{k^2}}} +\\ 4{{\text{π}}^2}T{\textit{z}} + 2\sigma _0^2{\mu ^2} \\ \end{array} \right] - \\ &\;\;\;\; {\left. {{{\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{{2{\textit{z}}}}{{{k^2}\delta _0^2}}\left( {n + 1} \right) - \dfrac{{\textit{z}}}{{2\sigma _0^2{k^2}}} -\\ 2{{\text{π}}^2}T{{\textit{z}}^2} - 2\sigma _0^2{\mu ^2}{\textit{z}} \\ \end{array} \right]}^2}} \right\}^{{1 / 2}}} \;\;\;\;. \end{split}$$ (18)
    • 根据部分相干光理论,光束到达接收面处的平均光强定义为 $I({{\rho }}) = W\left( {{{{\rho }}_1},{{{\rho }}_2}} \right)$ 。结合上述定义,可研究扭曲拉盖尔—高斯关联光束在大气湍流传输中平均光强分布特性。当光束和大气的参数没有特定给出时,选取如下: $\lambda = {\rm{632}}.8\;{\rm{ nm}}$ ${\sigma _0} = 2\;{\rm{ cm }}$ $\mu = {\rm{0}}.5\;{\rm{ k}}{{\rm{m}}^{ - 1}}$ ${\delta _0} = 5\;{\rm{ mm}}$ $m = 2$ $\alpha = 3.3$ $\tilde C_n^2 = {\rm{2}}{\rm{.5}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ - 14}}}}\;{{\rm{m}}^{{\rm{3 - }}a}}$ ${l_0} = 1\;{\rm{ mm}}$ ${L_0} = 1\;{\rm{ m}}$

      扭曲拉盖尔—高斯关联光束在不同传输距离下的平均光强分布曲线如图2所示。该光束在接近源平面处的平均光强呈高斯分布,随着距离的逐渐增加光束出现了空心的现象,这是由于光源的初始相干结构与远场强度之间存在着互易关系。当传输距离进一步增加时,光束的平均光强受到大气湍流的影响将会逐步退化为高斯分布。此外,扭曲拉盖尔—高斯光束的阶数m会影响平均光强分布随距离变化的速度。当m = 0时,扭曲拉盖尔—高斯关联光束将会退化为扭曲高斯谢尔模光束。阶数m越高,光强分布趋势越平缓,说明高阶光束对大气湍流的抑制作用更强。

      图  2  扭曲拉盖尔—高斯光束在大气湍流中不同传输距离下的平均光强分布。(a) ${\textit{z}} = {\rm{0}}.1\;{\rm{ km}}$ ; (b) ${\textit{z}} = 3\;{\rm{ km}}$ ; (c) ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ ; (d) ${\textit{z}} = 20\;{\rm{ km}}$

      Figure 2.  Normalized intensity of a TLGC beam in atmospheric turbulence at different distances where ${\textit{z}} = {\rm{0}}.1\;{\rm{ km}}$ (a), ${\textit{z}} = 3\;{\rm{ km}}$ (b), ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ (c), and ${\textit{z}} = 20\;{\rm{ km}}$ (d)

      为了分析光束和大气参数对湍流抑制作用的影响,图3给出了光束在 $\textit{z} = 5\;{\rm{ km}}$ 处平均光强分布受(a)功率指数 $\alpha $ ;(b)湍流外尺度 ${L_0}$ 和湍流内尺度 ${l_0}$ ;(c)扭曲因子 $\mu $ ;(d)横截面相干度 ${\delta _0}$ 的影响情况。图3(a)(b)显示了大气参数对光束传输的影响,当功率指数 $\alpha $ 和湍流内尺度 ${l_0}$ 越小,或湍流外尺度 ${L_0}$ 越大时,光强分布转换为空心分布越快。这说明湍流越强,光强分布变化趋势越明显,这与文献[19]的结论相一致,同时就验证了本文中数值计算的有效性。图3(c)(d)显示了光束参数对大气湍流的抑制作用。当增大扭曲因子 $\mu $ ,或降低横截面相干度 ${\delta _0}$ 时,会减慢光强分布转化为空心分布的过程,说明大气湍流环境对光强分布的影响将会受到抑制。

      图  3  扭曲拉盖尔—高斯光束在 ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ 处受不同参数影响下的平均光强分布。(a)功率指数 $\alpha $ ;(b)湍流外尺度 ${L_0}$ 和湍流内尺度 ${l_0}$ ;(c)扭曲因子 $\mu $ ;(d)横截面相干度 ${\delta _0}$

      Figure 3.  Normalized intensity distribution of a TLGCSM beam in atmospheric turbulence at ${\textit{z}} = 5\;{\rm{ km}}$ with varying parameters of power index $\alpha $ (a), outer scale of turbulence ${L_0}$ and inner scale of turbulence ${l_0}$ (b), twisted factor $\mu $ (c), and transverse coherence parameter ${\delta _0}$ (d)

      图4给出了扭曲拉盖尔—高斯关联光束的归一化M2因子随光束和大气参数变化的情况,M2因子越小说明光束质量越好。从图4(a)(c)(d)可以发现,阶数m越高的光束,其M2因子的变化趋势显得更慢,受到湍流的影响也更小。如图4(a)所示,归一化M2因子随功率指数 $\alpha $ 呈先急速增加后缓慢减小的趋势,在 $\alpha = 3.11$ 附近取得最大值。这是因为在 $\alpha = 3.11$ 附近处大气湍流强度最大,导致光束所受到的影响也最大。从图4(b)中可以看出,光束在大气湍流中会随着传输距离的增加导致光束质量下降,但增大湍流内尺度 ${l_0}$ 或减小湍流外尺度 ${L_0}$ 都能使M2因子的增加变得缓慢,即减弱大气湍流带来的影响。此外,增加湍流内尺度 ${l_0}$ 相较于降低湍流外尺度 ${L_0}$ 而言,对抑制大气湍流的作用更为明显。从图4(c)(d)中不难发现,扭曲因子的增加和相干度的降低都可以减小M2因子,光束传输质量的劣化也随之降低,这与前文分析的结论相一致。

      图  4  扭曲拉盖尔—高斯关联光束在大气湍流传输中的归一化M2因子随不同参数的变化情况。(a)功率指数 $\alpha $ ;(b)传输距离 ${\textit{z}}$ ;(c)扭曲因子 $\mu $ ;(d)横截面相干度 ${\delta _0}$

      Figure 4.  Normalized M2-factor of a TLGCSM beam in atmospheric turbulence varied with different parameters of power index $\alpha $ (a), transmission distance ${\textit{z}}$ (b), twisted factor $\mu $ (c), and transverse coherence parameter ${\delta _0}$ (d)

    • 基于拓展的惠更斯-菲涅尔原理和Wigner函数分布,研究了扭曲拉盖尔—高斯关联光束对大气湍流所带来的负面影响的抑制。通过数值模拟发现,适当增加激光光束的扭曲因子或降低初始光场的相干度都可以有效地减小湍流对激光光束传输质量的负面影响。对于扭曲拉盖尔—高斯关联光束来说,光束传输质量同时受到光束参数和大气湍流参数的共同作用。高阶数、相对较大的扭曲因子、低相干度的扭曲拉盖尔—高斯关联光束在大气湍流中的传输质量更好,而具有较大湍流外尺度和较小的湍流内尺度的大气会降低光束的传输质量。本论文的研究结论对激光的大气通信和远距离传输具有一定的理论指导意义。

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