1.   引　言

文物作为一种不可再生的物质文化遗产，有着丰富的历史价值、科学价值、艺术价值，文物反映了古代社会的真实面貌，对于正确认识人类古代文明，指导现在的生产活动、科学研究等都有重要价值。但随着时间的流逝和环境变化，许多文物、古建筑都难免遭受不同程度的损坏，文物的不可再生性使得最大限度地保留文物自身所蕴含的信息十分重要，而通过采集文物的三维点云数据对其进行精确建模能够帮我们实现这一目的，这也成为文物数字化保护^[1]、展示的重要技术手段。

在数据采集过程中，常用到结构光或激光雷达提取模型表面点云数据，其数据的完整性和精度直接影响后续点云的配准及重建效果。目前，国内外已开展了许多关于三维点云采集的研究工作。如Altuntas^[2]利用激光雷达与其他相关传感器集成的多波束扫描仪进行移动三维测量,提高了点云数据的采集范围和点密度。史艳侠^[3]等通过对结构光测量系统模型的分析,利用图像提取点云的站位信息，但图像则减少了更多的空间点云位置数据信息的获取。Medda^[4]等提出一种多相机的自动点云采集系统，利用多个深度传感器采集点云实现室内环境自动扫描。Toschi^[5]等利用机载联动LiDAR和摄影测量点云，通过体素结构过滤只选择用于配准细化的最佳点。上述方法虽针对特定情况取得了不错的结果，但它们受噪点影响较大，且点云细化过程复杂。

对于过大的实物模型来说，由于设备有效测量距离有限不能一次性完整采集所有点云数据，因此需要局部采集点云，再通过配准完成后续工作。点云配准最常用的方法是迭代最近点^[6]（Iterative Closest Point，ICP）。该方法通过对两组点云集进行初步匹配，在其配准空间位置的基础上找出两组点云集间的对应关系，从而进一步提高配准精度。

目前，国内外已有许多对点云配准的改进工作。如林森^[7]等通过改进的法向量夹角、点密度和曲率值，获取多尺度矩阵描述符进而完成精确配准，但获取点云特征描述子的参数较多、计算量大，耗时较长。Cedrique^[8]等提取点云平面结构，利用4PCS技术估计对齐平面结构的变换，从而减少了数据规模和工作量，但对于复杂模型的配准效果较差。Sun^[9]等利用深度图像获得点云稀疏特征信息，通过稀疏表示获得配准结果，提高了点云配准精度。Elizeu^[10]等提出通过合并SIFT 3D算法和PFH算法寻找变换参数初始近似的非迭代方案，但是对于复杂的文物点云，该计算特征序列难以精准描述点的特征。Kuçak^[11]等根据模型关键点之间的角度和距离表示的几何关系，对关键点进行匹配，提高了点云配准精度以及点云重建效果。Bauer^[12]等利用特定区域的投影(图像数据)和虚拟结构(点数据)的多组点云完成配准。该方法具有较高的配准精度和稳定性，但对于区域重叠部分的文物点云信息，投影图像将会导致文物的空间纹理特征信息减少，降低文物点云配准效率。

本文针对文物表面复杂点云纹理特征配准中存在的配准精度低、鲁棒性差的问题，提出一种基于法向量夹角和面状指数特征的局域点云配准方法。该方法用点云协方差矩阵平面性特征值来表示三维点云曲面面状指数，结合点云法向量夹角特征，通过阈值筛选出点云特征点进行配准。该方法提高了文物表面纹理特征点云信息的配准精度，验证了此方法的可行性和鲁棒性。

2.   点云特征点提取

在描述三维点云特征信息时，最常用到的是法向量^[13]和曲率^[14]。由于物体棱角上点云的法向量夹角以及曲率值相比面上变化较大，所以将棱角处点云作为特征点。但单一的局部特征对点云特征描述效果较差，法向量夹角或曲率阈值过大或过小都不能有效剔除模型曲面上的点，因此本文结合点云法向量夹角和邻域内点集协方差矩阵平面性特征值来提取点云特征点。

先分别提取满足点云法向量夹角阈值和邻域内协方差矩阵平面性特征阈值的点的合集；然后筛选出同时满足这两条的点作为物体的特征点，最后将特征点集进行迭代匹配，完成点云配准。

2.1   点云法向量特征描述子的提取

点云法向量是一个带有方向和大小的矢量，且不同形状表面的法向量方向不同，如图1所示，本文通过点云与邻域点间法向量的夹角来判断其是否为特征点。

图  1  不同表面形状的法向量

Figure  1.  Normal vectors of different surface shapes

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在空间坐标系下，假设点云数据集{${P}_{1},{P}_{2},{P}_{3},\cdots , {P}_{n}$}中的某一点为${P}_{i}({x}_{i},{y}_{i},{\textit{z}}_{i})$，对该点进行k-d树邻近搜索并使用最小二乘拟合局部平面^[15]，得到平面方程：

此拟合平面上其他点的矩阵形式可表示为：

则该非齐次方程的最小值即为平面在${P}_{i}$处的法向量。

同样，对采集的点云数据集{${P}_{1},{P}_{2},{P}_{3},\cdots , {P}_{n}$}进行遍历操作，设点$P(x,y,\textit{z})$为坐标圆点，选择定值$r$为半径进行k-d树邻近搜索,确定筛选出的$n(n\geqslant 6)$个相关点云后返回其位置指针所指向的法向量值，通过余弦定理得到法向量夹角，其公式如式(3)所示，其中，${i}=\mathrm{1,2},\cdots {n}，{P}_{j}({x}_{j},{y}_{j},{\textit{z}}_{j})$是除${P}_{i}$外的邻域点云。

如图1所示，对于平面而言，法向量之间夹角为0互不影响，所以不做考虑。但由于曲面存在，点云数据集的法向量发散且各法向量间存在一个角度（范围在0°至90°），为区分点云曲面与棱位置处的点集，本文选取夹角$\delta$=60°来提取点云法向量变化较大的点集，即将点云边界棱角处的点集作为特征点。如果求得的各法向量夹角值$\left\{{\theta }_{1},{\theta }_{2},\cdots , {\theta }_{n}\right\}$都大于$\delta$, 则认为该点为点云的特征点，用式(4)表示为：

但由于模型存在曲面，其局部曲面上的点也可能满足此条件，因此单一的法向量夹角特征不足以充分描述点云的特征信息。

2.2   基于平面性点云协方差矩阵特征描述子的提取

协方差矩阵描述子^[16]是一种利用局部邻域特征构建的描述子，可以充分反映邻域点集的局域信息，进而得到该点的特征信息，即用点云协方差矩阵平面性特征值来表示三维点云曲面面状指数。

此方法遍历点云数据集中的每一点，通过k-d树邻近搜索，找到距目标点P最近的n个邻近点云数据，构建局部邻域样本点集，质心点计算公式如式(5)所示：

其中，D表示样本邻域点云区域，$F(x,y, \textit{z}(x,y\left)\right)$为点云密度公式。

接着，对样本邻域集点云数据进行去质心化处理，以构建协方差矩阵描述子，该操作关键在于特征向量的选取，应尽可能选取鲁棒性好，代表性强的元素构建特征向量。通过协方差度量两个点云线性相关性程度，协方差的计算公式如下：

在统计学与概率论中，协方差矩阵的每个元素是各个向量元素之间的协方差。由于采集到的点云数据集是一个$n\times 3$的数组形式，协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，因此各维度点云数据可表示为：

则$n$维随机变量$X,Y,Z$的协方差矩阵为：

其中每个元素值都可以利用上面计算协方差的公式进行计算。

SVD（奇异值分解）^[17]可以将一个比较复杂的矩阵通过更小更简单的几个子矩阵相乘来表示，这些子矩阵就是矩阵的重要特性。奇异值分解适用于任意的矩阵表达式为：

矩阵形式为：

其中，${\boldsymbol{A}}$是一个${{m}} \times {{n}}$的矩阵，U、V分别是一个${{m}} \times {{m}}$和${{n}} \times {{n}}$的正交矩阵，${\boldsymbol{\Sigma}}$是${{m}} \times {{n}}$的对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵的奇异值，即点云的特征值，且${\lambda }_{1} > {\lambda }_{2} > {\lambda }_{3} > 0$。之后根据SVD特征向量平面特性公式：

得到点云数据集中每一点的特征值集合{${Q}_{1}, {Q}_{2},{Q}_{3},\cdots ,{Q}_{n}$}，用以表示三维点云数据面状情况指数。取其平均值$\bar{Q}$为临界点，将所有点集与其进行比较，如果${Q}_{\lambda }\geqslant \bar{Q}$，则该点表示三维点云模型平面上的点集，反之，若${Q}_{\lambda }\leqslant \bar{Q}$，则表示该点是点云模型边界或者棱上的点集，以此筛选的点云数据特征值作为点云相关特征点提取出来。

3.   点云配准

点云配准本质上是一种坐标变换，将两组不同坐标系下有公共重叠部分的点云经过平移、旋转等刚性变换匹配在同一个坐标系内的过程^[18]。其流程如图2所示，首先，对采集的点云数据进行特征点提取，其次，使用奇异值分解法计算变换矩阵 $({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{t}})$，优化收敛函数，最后，使目标函数$E({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{t}})$最小，循环迭代从而获得最优的配准效果。

图  2  点云配准方法流程图

Figure  2.  Flow chart of point cloud alignment method

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为减小全局点云在配准过程中的误差影响，本实验采用局部点云配准方法。近似取两组点云上相同位置的某一点，通过k-d树半径(r=60)邻近搜索提取该区域特定点集数作为局域点云配准样本。计算两组点云的质心$P({X}_{0},{Y}_{0},{Z}_{0})$，通过刚性变换^[19]绕坐标轴将不同坐标系下的两组点云质心点位置经过旋转和平移进行初始配准，点云绕x轴的刚性变换矩阵为：

其中，$(x,y,\textit{z})$是变化前的点云坐标，$({x}',{y}',{\textit{z}}')$表示刚性变换后的点云坐标，$\theta$表示转动角度。点云精配准是在粗配准的基础上通过计算欧式距离进行迭代配准。

两组局域点云精配准后，会得到一个4×4的局部点云配准的变换矩阵T，T的形式如下：

其中，$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array}} \right]$为点云旋转矩阵， $({t}_{x}\;\; {t}_{y}\;\; {t}_{\textit{z}})$为点云平移矩阵。将此矩阵应用到原始点云数集中，实现完整点云精配准。

4.   实验分析及验证

本实验硬件设备使用Handyscan300手持式三维扫描仪采集点云数据，其光源为3条交叉线性矩阵激光扫描仪，测量速率为$2.05 \times {10^5}$ 次/秒，测量精度最高至0.040 mm，分辨率为0.100 mm，基准距为300 mm，景深250 mm，属于II级激光，在人眼安全范围内，能够快速建立可视化模型。反光标定贴纸可以作为拼接和定位数据的依据，通过标定点信息定位续接完成数据再次采集，并且标定点处文物扫描出的数据更加准确、精度较高。反光标定贴纸主要用于古建筑物、文物、著名造像等器物中，通过高密度和高精确度的测量，对文物数据进行精确反馈并及时准确地提供修复数据。然而对于一些不方便粘贴标定或者易损坏的文物，则需要完全非接触的测量，如光栅投影^[20]，摄影测量技术^[21]等。

线性矩阵激光是通过扫描仪发射3条线性阵列激光，激光照射到待测目标物体上经反射获得扫描截面的数据，实测图如图3所示。利用MATLAB2021a对复杂纹理特征信息的兵马俑模型点云数据进行测试，通过与传统的ICP方法做对比，验证此方法的效率和可行性。

图  3  模型实测图

Figure  3.  Model measurement diagram

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在采集点云数据过程中，以正对模型位置为基准，45°为单元，通过刻度转盘旋转分8次完成模型完整点云数据的采样。本实验分别以0°和45°方向采集兵马俑模型点云数据，点云数目分别为74320和66778，采集到的原始点云数据如图4所示。

图  4  原始点云图

Figure  4.  Primitive point cloud diagrams

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接着，对0°和45°这两组采集的点云进行配准实验。对采集到的原始点云数据进行预处理，去除点云离散点，分别提取文物法向量夹角和点云面状指数特征点如图5、 图6(彩图见期刊电子版)所示。其中图6(a)为点云面状特征颜色渲染图，位于面上的点云特征值数值接近于1，颜色趋于黄色；相反，位于边界或棱上的点云特征值接近于0，颜色趋近蓝色。由此图可以区分协方差矩阵特征点云。通过设定协方差矩阵特征均值$\bar{Q}$，取协方差矩阵特征值集合{${Q}_{1},{Q}_{2},{Q}_{3},\cdots ,{Q}_{n}$}中大于$\bar{Q}$的点作为特征点。

图  5  点云法向量特征图

Figure  5.  Normal vector feature plots of point cloud

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图  6  点云面状指数特征图

Figure  6.  Point cloud-like exponential characteristics

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结合法向量夹角和点云面状指数特征，提取的点云特征如图7所示。其降低了点云配准过程中复杂的计算量，同时减少了多余点集对点云配准结果的影响，提高了配准效率。最终的局部特征点云配准结果如图8(彩图见期刊电子版)所示，点云与目标点云点集分别用绿色和紫色表示，配准后会得到一个4×4的局部点云配准的变换矩阵T，将此矩阵应用到原始点云数集中，实现完整点云精配准。

图  7  点云特征图

Figure  7.  Point cloud feature diagrams

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图  8  特征点云局部配准图

Figure  8.  Feature point cloud local registration diagram

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为了验证点云配准结果的精度，用绿色和紫色分别表示源点云与目标点云点集，将其与传统的ICP方法进行对比，对比结果如图9(彩图见期刊电子版)所示。图9(a)、9(b)为兵马俑点云配准正视图，从红色框区域可看出改进后的点云模型身体边界、模型棱角处的点云配准图像重合度比传统方法的高。图9(c)、9(d)是从俯视角度观察，可见，红色框区域中改进后模型的脚部以及底部平台处点云配准方法精度比传统方法的结果更准确。

图  9  兵马俑点云配准对比图

Figure  9.  Comparison charts of point cloud registration for terracotta army

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点云匹配精度以均方根误差作为评判标准，反映了测量数据偏离真实值的程度，其值越小表示测量精度越高。其均方根误差公式为：

点云配准过程中各部分实验数据如表1所示，改进后点云特征点提取数目近似为原数据的1/12，配准时间接近缩为原来1/2， 均方根误差RMSE从7.88%降至4.73%，配准误差下降了3%。实验结果表明，本文方法相比传统点云配准方法在效率、精度方面都大有提高。

表  1  兵马俑点云配准过程实验数据分析

Table  1.  Experimental data analysis of terracotta army point cloud registration process

方法	点云数目	特征点数	配准时间/s	RMSE/mm
传统ICP	74320/ 66778	72322/66440	11.73	7.88
本文方法		6083/5723	6.22	4.73

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5.   结　论

本文针对文物表面复杂点云纹理特征配准中存在的配准精度低、鲁棒性差问题，提出一种基于法向量夹角和面状指数特征的局域点云配准方法。首先设定法向量夹角和协方差矩阵平面特性阈值，筛选出点云的特征点，提取同时满足这两个特征的点云关键点；其次，根据K近邻搜索提取点云局域特征信息，通过刚性变换使两组点云质心位置重合，进行粗配准；在两点云粗配准位置基础上根据ICP迭代最近点进行精配准。实验表明，参与配准的点云特征点数据量减少了90%，配准时间提高了50%，点云配准均方根误差RMSE下降3%左右。此方法有效降低了文物数据信息量大且纹理特征复杂的点云数据对配准误差的影响，增强了点云配准的鲁棒性。

但在实际测量应用中，标定贴纸的使用仍具有一定的局限性，通过用文物外形上的自然特征点或特征区域代替标定贴纸，这将是我们后续研究的方向。