1.   引　言

微光学元件表面具有微米或纳米量级的复合结构，是制作小型光电子系统的核心元件。其能够实现普通光学元件难以实现的微小、集成和波面转换等功能，在光学成像^[1]、光学治疗^[2]等领域应用广泛。为了保证微光学元件的性能，对其表面的微结构进行高效和精确测量至关重要。数字全息显微成像^[3-4]是一种以数字全息为基础的显微成像技术。它将传统的显微光路作为物光光路，并引入参考光与其进行干涉，通过光电探测器（CCD、CMOS）记录干涉图，然后进行数字再现，最终可得到待测物体的三维图像和相位信息。该技术具有非接触、无损、三维实时测量等特点，已广泛应用于生物细胞成像^[5]、振动和形变测量^[6-7]、微纳器件检测^[8]等领域。为了解决零级像和共轭像之间的干扰问题，数字全息显微成像目前普遍采用离轴记录方式，但受探测器空间分辨率和记录靶面尺寸的限制，原始像、零级像和共轭像在数字再现时无法彻底分开，而且再现像的空间分辨率也没有传统光学全息再现像的分辨率高。将相移技术和数字全息显微成像相结合的相移数字全息显微成像^[9-10]，能够利用相移操作有效地解决同轴记录条件下零级像与共轭像之间相互干扰的问题，获得分辨率更高的全息再现像。

根据相移的记录方式，可将其分成空间相移法^[11]和时间相移法^[12]两类。空间相移法是在同一时刻记录下多幅相移干涉图，其重点在于分光技术和同步引入等步长的相位调制。2018年，Nobukawa T等人^[13]提出了一种用于获取运动目标的相移数字全息技术。他们在迈克尔逊干涉光路的基础上，利用两个空间光调制器（Spatial Light Modulator, SLM)制作了多路棋盘相位光栅，同时获得了4张相移全息图，实现了单个CMOS相机的同步相移数字全息测量。时间相移法是在时间上分步记录多幅不同相移量的干涉图，可分为用空间光调制器灰度调制引入相移和在参考光路加入动态相移器轴向机械移动引入相移两种方式。2015年，石侠等人^[14]通过设计双透镜模式的相位掩模写入液晶空间光调制器，通过其相位调制特性实现了无机械移动的相移数字全息。2022年，钱晓彤等人^[15]为了提高基于液晶空间光调制器的相移数字全息显微系统的测量精度，对空间光调制器的灰度和相移量间的关系进行了二次标定，测量结果显示微透镜阵列纵向矢高的相对误差显著降低。对于在参考光路中加入动态相移器从而引入相移的方案。常见的有压电陶瓷法。2018年，邓丽军等人^[16]在相移数字全息显微测量中，通过压电陶瓷控制反射镜的移动距离引入相移，对平均高度为0.56 μm的相位分辨率板进行测量，其结果和轮廓仪的数据相吻合；2022年，Lim J等人^[17]提出了一种以多层陶瓷电容器（MLCC）作为驱动的相移数字全息系统，将所设计的MLCC应用在迈克尔逊干涉装置中，测量了高度为1.8 μm的步进样品，得到的相位标准偏差小于1.3 nm。尽管空间相移方法在一定程度上符合实际应用中实时观测的要求，但相比于时间相移方法，其再现像的空间分辨率有所下降。时间相移法中通过向液晶空间光调制器输入灰度图像间接实现相位调控引入相移的方式，无法避免光强与相位之间的非线性，而对于轴向移动引入相移的方式，随着测量精度的提高，机械振动的敏感性也会增加，会产生额外的相移误差，降低再现像质量。基于此，在时间相移法的基础上通过改进机械移动引入相移的方式，避免了传统轴向相移器需要的精细控制和繁琐校准过程，降低机械振动对光路的干扰。因此实现微光学元件表面形貌的高精度测量具有重要意义。

涡旋光^[18]是一类具有环形光强分布，携带Hilbert因子$\exp (il\varPhi )$的光束。因其具有轨道角动量和自旋角动量，在超分辨成像^[19]、粒子捕获^[20]、光学测量^[21]等多个领域发挥了重要作用。涡旋光作为一种特殊的结构光，具有螺旋相位波前，其在角方向上的相位分布可将全息测量中的轴向相移转换为角相移，从而提高相移的准确性。将涡旋相移技术与相位展开技术相结合，可以实现对材料微位移、折射率和物体表面形状的精确测量。2011年，Fujimoto I等人^[22]通过研究涡旋光束在光学位移测量中的应用，验证了在自由空间传播的涡旋光（拓扑荷数为1）的振幅呈锥形分布，奇点周围存在循环的相位分布。2016年，Sun等人^[23]提出了一种在电子散斑干涉中使用涡旋相移测量平面内位移的新方法，通过控制液晶空间光调制器上显示的叉状全息图，直接生成所需的相移；2019年，Wang等人^[24]通过在液晶空间光调制器上加载不同的螺旋相位全息图产生涡旋光束，在参考光路引入了相移，基于改进的马赫-曾德尔干涉光路，测量了特殊光纤的三维折射率；2021年，Zhao等人^[25]根据相移干涉原理和涡旋光束的螺旋相位特性，提出了一种检测透明物体表面轮廓的方法。本文借助涡旋光特殊的相位分布，提出了一种基于涡旋相移数字全息测量微光学元件表面形貌的方法。该方法在参考光路加入螺旋相位板（Spiral Phase Plate, SPP）调制涡旋相位以引入高精度相移，在利用干涉极值比较法确定了相移全息图之间的实际相移量后，对微透镜阵列进行重复测量实验，通过二次曝光差分算法去除复合相位中的涡旋相位和畸变相位后，获得了高精度的表面形貌测量结果。

2.   理　论

2.1   涡旋相移数字全息显微成像

涡旋光具有特有的相位结构，相位在角方向连续变化，在径向上保持一致，涡旋相移就是利用涡旋光的这一特点，通过旋转螺旋波前引入相移。SPP是一种特殊的光学元件，其具有螺旋状结构。光束经过SPP^[26]时，光束的相位会因为SPP的结构而发生变化，形成涡旋光。其复振幅分布可表示为：

式中，$A_R(x,y)$为涡旋光的振幅分布；$l$为整数，称为拓扑电荷；$\varPhi (x,y)$表示涡旋光的初始相位分布。

假设SPP上存在螺旋相位为$\eta$的点$(x,y)$，在极径大小不变的条件下，顺时针方向存在相位差为$\alpha$的点$(x_1,y_1)$（如图1（a）所示）。根据坐标变换关系，点$(x_1,y_1)$坐标可以表示为：

图  1  旋转SPP调制涡旋相位原理图

Figure  1.  Schematic diagram of rotating SPP modulated vortex phase

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当SPP顺时针旋转$\theta$角度时，点$(x,y)$移动到点$(x_2,y_2)$处（如图1（b）所示），其坐标可以表示为：

由式（2）和式（3）可知，当$\alpha = \theta$时，涡旋光束的位移相位与SPP的旋转角度相一致，点$(x_1,y_1)$与点$(x_2,y_2)$重叠。因此可通过旋转SPP实现涡旋光束的相位调制，为相移的引入提供条件。

将SPP旋转$\theta$角后，涡旋光束的复振幅分布变成：

从式（4）可知，当SPP旋转$\theta$角后，涡旋光产生$l\theta$的相位变化，从而实现相移。本文SPP的拓扑电荷$l = 1$，相移量就只取决于SPP的旋转角度$\theta$。

针对待测物为微光学元件，本文在Mach-Zehnder干涉光路的基础上，设计了涡旋相移数字全息显微成像系统，原理图如图2所示。采用预放大显微记录的方式，在物光路中加入显微物镜，以放大包含被测物体信息的物光场。在参考光路加入SPP进行涡旋参考光的调制，引入相移。为确保物参光路能进行有效的干涉，在参考光路加入焦距为200 mm的透镜（L1），与焦距同为200 mm的管镜（L2）构成4f系统，使涡旋参考光平行入射至CMOS相机记录靶面。

图  2  涡旋相移数字全息显微成像原理图

Figure  2.  Schematic diagram of vortex phase-shifting digital holographic microscopy

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He-Ne激光器发出的光，在经过线偏振片后转化为线偏振光，再经扩束准直系统后，通过光阑进入分光棱镜1被分为两束光（O光和R光）。其中：O光为物光，R光为参考光；O光经平面反射镜2转向，通过被测样件后，携带物面信息，经显微物镜放大后垂直入射至分光棱镜2；R光通过SPP后，转换为涡旋光束，在平面反射镜1进行转向后，通过透镜L1到达分光棱镜2；物参光合束后经过管镜L2，在CMOS相机成像靶面形成稳定干涉并被记录，得到数字全息图。

物参光干涉后的全息图光强分布可记为：

式中$I_n(x,y) = A_{\mathrm{O}}^2(x,y) + A_{\mathrm{R}}^2(x,y)$表示干涉图的背景光强；$\Delta I(x,y) = 2A_{\mathrm{O}}(x,y)A_{\mathrm{R}}(x,y)$表示干涉图的调制度；$\varphi (x,y)$为物光路的初始相位。

由式（4）可知，将SPP旋转$\theta$角度，涡旋参考光的相位变化同为$\theta$，此时全息图光强分布变为：

2.2   相位重建

本文采用定步长相移算法，将相移量设置为${\text{π}} /2$。加入待测元件后，SPP分别旋转0°、90°、180°、270°，得到相移量分别为0、${\text{π}} /2$、${\text{π}}$、$3{\text{π}} /2$的4幅相移干涉全息图，其光强分布可记为：

式中$\Delta \varphi (x,y)$为待测元件的相位。

根据三角关系和反正切运算，待测元件的复合相位为：

由式（8）可知，如果要正确再现待测元件的相位，需要去除涡旋初始相位。采用二次曝光法，在不加入待测元件的情况下，控制SPP旋转相同角度，得到的全息图光强分布记为：

从式（9）得到涡旋初始相位为：

从而，待测元件的相位分布$\Delta \varphi (x,y)$为：

3.   实　验

3.1   实验装置

根据图2所示的光路原理图，搭建涡旋相移数字全息显微成像的实验装置，如图3所示。

图  3  涡旋相移数字全息显微成像实验装置

Figure  3.  Experimental setup for vortex phase-shifting digital holographic microscopy

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实验中激光器选择DH-HN250氦氖激光器，其波长为632.8 nm、功率为1.5 mW。采用入射波长为633 nm、拓扑荷数为1的台阶型螺旋相位板调制涡旋光。SPP安装在电动旋转位移台上，LBTEK公司的EM-RP60电动旋转位移台可实现360°连续的旋转运动，旋转台侧面刻线精度为2°。CMOS相机分辨率为1280 pixel×960 pixel，单个像元尺寸为3.75 μm×3.75 μm。

3.2   涡旋相移标定

为验证涡旋相移的准确性，对SPP的旋转角度和相移量的关系进行标定。首先不加载待测物体，旋转SPP，在CMOS相机的成像靶面清楚地记录4幅相移干涉全息图，如图4所示。

图  4  四步相移全息图

Figure  4.  Four-step phase-shifting holograms

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从图4可以看出，物光与涡旋参考光的干涉条纹分布呈现螺线型明暗相间的环形。通过使用干涉图极值法^[27]求出图4所示的相移全息图中的干涉极值点，并用这些独特的像素点，确定各个全息图之间的实际相移量。4幅相移全息图的实际相移量与相移误差如表1所示。

表  1  相移全息图的实际相移量和相移误差

Table  1.  Actual phase shift and phase shift error in phase shift holograms

No.	Theoretical Phase Shift/rad	Actual Phase Shift/rad	Phase Shift Error/rad
1	0	0	0
2	0.5π	0.4992π	−0.0008π
3	π	0.9963π	−0.0037π
4	1.5π	1.4876π	−0.0024π

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由表1可知，相移全息图的实际相移量接近理论相移量，实验结果与理论分析一致，实验验证了涡旋相移的准确性和可行性。

3.3   实验结果及分析

实验中选择在折射率为1.525的石英玻璃上刻蚀的微透镜阵列作为测试样品。在物光路加入微透镜阵列后，根据显微物镜的位置，利用位移台对微透镜阵列与显微物镜之间的距离进行精确调整，寻找准确的焦点位置，以获得更加清晰的数字全息图。记录下第一幅全息图后，利用旋转位移平台控制SPP，依次转动90°，得到相移量分别为${\text{π}} /2$、${\text{π}}$、$3{\text{π}} /2$的全息图，如图5（a）~5（d）所示。

图  5  微透镜阵列的4幅相移全息图

Figure  5.  Four phase-shifting holograms of micro-lens arrays

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根据式（8）对图5所示的4张相移全息图进行处理，获得如图6（a）所示的包含微透镜阵列信息的复合包裹相位图。利用相位展开技术对相位进行解包裹处理，得到解包相位，如图6（b）所示。利用相位畸变补偿技术和差分算法，根据式（11）消除由系统误差导致的相位畸变和涡旋初始相位，获得如图6（c）所示的相位图以及图6（d）（彩图见期刊电子版）所示的三维相位分布情况。

图  6  微透镜阵列相位处理结果

Figure  6.  Results of micro-lens array phase processing

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从图6（d）可以看出，再现的微透镜阵列边界轮廓清晰，表面平滑，验证了本文所提出的涡旋相移数字全息显微成像测量方法的可行性。为了进一步分析其测量结果的准确性，将测量结果与ZYGO白光干涉仪的测量数据进行比较分析。在再现相位分布图中的相同位置对单个微透镜做截面线选取，结果如图7所示。ZYGO白光干涉仪对此微透镜阵列进行测量，得到的单个微透镜横向尺寸为317.7 μm，纵向矢高为12.917 μm。

图  7  单个微透镜截面线选取

Figure  7.  Individual micro-lens section line selection

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为消除随机因素对实验结果的影响，利用上述实验装置对微透镜阵列进行重复测量及截面线选取，测量单个微透镜的纵向矢高结果如表2所示。

表  2  测量微透镜阵列纵向矢高实验结果

Table  2.  Experimental results of the measured longitudinal vector height of micro-lens arrays

No.	Vertical height of single micro-lens/μm	Absolute error/μm	Relative error/%
1	12.906	0.011	0.085
2	12.917	0.000	0.000
3	12.920	0.003	0.023
4	12.898	0.019	0.147
5	12.921	0.004	0.031
6	12.875	0.042	0.325
7	12.897	0.020	0.155
8	12.860	0.057	0.441
9	12.871	0.046	0.356
10	12.903	0.014	0.108

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从表2可以得出，实际测量单个微透镜的平均纵向矢高为12.897 μm，均方根误差为0.029 μm。与ZYGO白光干涉仪的测量结果相比，单个微透镜的纵向矢高平均绝对误差为0.020 μm，平均相对误差为0.155%。

4.   误差分析

实验测量的单个微透镜的平均纵向矢高与ZYGO白光干涉仪的测量结果还存在一些偏差。微透镜阵列的相移全息图如图8所示。分析认为由于本文是通过旋转SPP对涡旋参考光的相位进行调制，从而引入相移，而SPP的旋转误差可能会影响实验结果。为了研究旋转角度误差对测量精度的影响，仿真模拟了高度为10 μm的微透镜阵列，仿真结果如图9所示。

图  8  微透镜阵列的相移全息图

Figure  8.  Phase-shifting holograms for micro-lens arrays

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图  9  仿真测量结果

Figure  9.  Simulation measurement results

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考虑到实验中使用的旋转位移台侧面刻线精度为2°，在仿真中，将角度误差范围设置为[−2.0°, 2.0°]，最小误差分辨率为0.2°。测得的微透镜矢高与转角误差之间的关系曲线如图10所示。

图  10  微透镜矢高与旋转角度误差之间的关系曲线

Figure  10.  Relationship curves between micro-lens vector height and rotational angle error

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从图10中可以看出，在设置的$[ - 2.0\text{°} ,2.0\text{°} ]$角度误差范围下，测量微透镜的PV值与真实PV值之间的偏差会随着旋转角度误差${\delta _\theta }$的增大而增大。为了提高待测元件表面形貌的测量精度，旋转角度误差应尽可能小。另外，SPP也具有一定的表面形状误差，会影响涡旋光束的调制质量，降低相移精度。高质量的涡旋光束和SPP有利于进一步提高测量精度。

5.   结　论

本文研究了一种基于涡旋相移数字全息的微光学元件表面形貌测量方法。通过旋转SPP调制涡旋相位，引入高精度相移，构建了涡旋相移数字全息显微实验装置；利用干涉极值算法确定相移干涉图之间的实际相移量，对SPP旋转角度与相移量的关系进行了标定，实验验证了涡旋相移的可行性；以微透镜阵列作为被测件，进行了重复测量实验，并将结果与ZYGO白光干涉仪的测量结果进行了分析对比，得到微透镜阵列的纵向矢高平均相对误差为0.155%，表明了所提方法的可行性与准确性。与传统相移数字全息显微测量装置相比，基于本文所提方法构建的实验装置，结构紧凑、稳定性强，无需精密的相移机构，只需控制SPP的旋转角度即可引入相移，降低了对实验环境的要求。为超构表面、多级衍射透镜、光子筛等新型微光学元件表面形貌的测量提供了一种新的方法。