1.   引　言

随着移动通信、互联网、物联网等领域的迅猛发展，对高效、可靠的数据传输和频谱资源的充分利用需求不断增加。相干正交频分复用（OFDM）作为一种多载波调制技术满足这些需求，因为它能够将数据分成多个子载波，并将它们同时传输，从而提高了通信系统的吞吐量。与基于循环前缀的正交频分复用（CP-OFDM）通信系统相比，基于偏移正交幅度调制(Offset-QAM)的正交频分复用系统（OFDM-OQAM）使用了时频聚焦特性更加优良的原型滤波器。虽然CP-OFDM在光纤通信领域已获得广泛应用，但是OFDM-OQAM带外能量泄漏更小、频谱效率更高，所以被认为是CP-OFDM的代替方案之一^[1-9]。

在相干光通信系统中，激光器的相位噪声（Phase Noise，PN）是一种非常重要的物理损伤。相位噪声会使光信号的相位随时间发生随机波动，引起公共相位误差（Common Phase Error，CPE），还会引起子载波间干扰（Inter Carrier Interference，ICI）^[10]，从而使接收端的星座图表现出强烈地旋转与发散，最终导致系统传输质量严重劣化。研究人员已经提出了多种针对CP-OFDM的相位噪声补偿方案，然而这些方法都无法直接应用于CO-OFDM-OQAM系统^[11]。这是因为CO-OFDM-OQAM只满足实数域正交性条件，不满足复数域正交性条件，相位噪声补偿和信道均衡过程均会受到固有虚部干扰（Intrinsic Imaginary Interference，IMI）。IMI的存在使得CO-OFDM-OQAM系统的数字信号处理方法与其它相干光通信系统有很大的不同。

目前，CO-OFDM-OQAM系统的相位噪声补偿方法可以分为两类：盲估计法^[12]和非盲估计法。非盲估计法是通过在频域符号中插入已知的导频来对相位噪声进行估计和补偿的。盲估计方法则不需要借助导频信息进行相位噪声估计，其频谱效率不会降低，但是计算复杂度高。早在2014年，文献[13]就讨论了多载波Offset-QAM系统的相位噪声跟踪问题，作者将载波相位恢复（Carrier Phase Recovery，CPR）方案以反馈的方式纳入自适应信道均衡。2015年，针对Offset-QAM Nyquist 波分复用系统，文献[14]提出了一种盲相位搜索（Blind Phase Search，BPS）算法。它是一种前馈式盲估计方案，并在4-QAM、16-QAM系统中进行了实验验证。两年后，该课题组缩减了该方法的计算复杂度，提出了垂直BPS（V-BPS）算法^[15]。文献[13-15]存在一个共同的问题，即考虑的子载波数量非常少，最少为4个，最多为7个。然而，随着子载波数量的增加，在一个符号持续时间内，PN有明显变化，不能被忽略。在这种情况下，文献[13-15]的方法就不再适用。NguyenTH解决了CO-OFDM-OQAM在子载波数量较大时的PN消除问题^[12]，并提出了一种改进的BPS算法。在传统的BPS算法中，星座点之间的距离是通过复数的平方来计算的，而在改进的BPS算法（M-BPS）中，星座点之间的距离是在实平面内进行的。文献[12]根据最大似然估计原理给出了该方法的理论证明。考虑的子载波数量涵盖256、512、2048。2015年，Fang^[16]等人通过研究发现：在CO-OFDM-OQAM系统中，PN引起的ICI比传统CP-OFDM系统更为复杂。基于正交基扩展原理，他为偏振复用CO-OFDM-OQAM系统（PDM-CO-OFDM-OQAM）设计了一种时域PN抑制方法。尽管该方法可以抑制CPE和ICI，但其计算复杂度需要进一步优化。NguyenT T^[17]等人在2018年提出了一种基于赝导频编码的PN补偿方法。他们报告称，在200 kHz的激光线宽下，对于具有256个子载波的32 GBaud/s CO-OFDM-OQAM系统，该方法可以提供与文献[12]的M-BPS算法相当的PN补偿效果，同时大大降低了算法复杂性。然而，该方法的预编码过程牺牲了3.1%的频谱效率。一年后，You B Y^[18]进一步扩展了这项工作。他们利用赝导频编码对载波频率偏移和相位噪声进行了联合估计。数值模拟结果表明，该方法可以正确估计和补偿高达10 GHz的载波频偏和线宽高达1 MHz的相位噪声^[18]。除上述工作外，卡尔曼滤波器也可用于补偿CO-OFDM-OQAM系统的相位噪声^[19-20]。

本文重点研究了基于导频的PDM-CO-OFDM-OQAM相位噪声补偿方法。首先，为CO-OFDM-OQAM提出了新的导频设计方案，即实虚交替导频。接着，详细阐述了利用这种新方案补偿CPE的基本原理。光纤信道中出现相位噪声时，实数导频在复平面上会发生旋转，相对于实轴的旋转角即为相位噪声。与实数导频类似，虚数导频相对于虚轴的旋转角也等于相位噪声。对实数导频和虚数导频的旋转角进行平均后可获得相位噪声的准确估计值。最后，搭建了有效速率为65 GBits/s的 PDM-CO-OFDM-OQAM系统的数值仿真平台，验证了所提方法的CPE补偿能力，进一步研究了激光器线宽、光信噪比（OSNR）、子载波总数对补偿效果的影响。

2.   算法原理

为了突出重点，暂时忽略色散等其它信道损伤的影响。考虑相位噪声后，在每个偏振态上，CO-OFDM-OQAM的接收端信号可以写为：

式中，$g[k]$代表脉冲成型滤波器，$K$是$g[k]$的重叠因子，子载波个数为$M$，时间序列为$N$。$\phi \left( {\boldsymbol{k}} \right)$是附加在接收信号上的激光器相位噪声。为了解调出${{\boldsymbol{a}}_{{{m,n}}}}$，需要执行如下操作：

$(p,q)$代表时频格点$(0,0)$的一阶最近邻区域。从式(2)可以看出，$\phi \left( {\boldsymbol{k}} \right)$会引起相位的随机扰动，影响${{\boldsymbol{a}}_{{{m,n}}}}$的解调过程，降低系统的传输质量。在时域，PN的影响以复变量的e指数函数形式出现，可以看作是乘性噪声。在频域，PN的影响可以分离为两部分：第一部分将导致所有符号产生一个共同的旋转角，即公共相位误差CPE；第二部分导致不同子载波之间出现干扰，即ICI，不同符号的ICI并不相同。

虽然，激光器相位噪声是随机变化的，但它仍然满足一定的统计学规律，可以看作是一个维纳随机过程，即Wiener-Lévy过程：

其中，$m$是时间采样点序号，$\Delta\phi(m)\sim N(0, 2{\text{π}}\Delta fT_s)$是一个零均值的高斯随机过程，方差等于$2{{\pi}} \Delta f{T_s}$。$\Delta f$是发射端激光器和本振激光器的总线宽，${T_s}$是码元周期。激光器相位噪声对任何一种相干光通信系统都有较严重的影响，而对直接探测光通信系统的影响则较小。图1展示了激光器线宽不断增加时，CO-OFDM-OQAM信号在复平面上的旋转和扩散情况。从图1可以看出：与其它相干系统相比，CO-OFDM-OQAM系统存在相位噪声和固有虚部干扰的相互叠加，CPR问题变得更加复杂，需要采取有效的方法消除和补偿由此产生的影响。

图  1  OFDM-OQAM系统中信号受激光器线宽的影响。（a）线宽为0；（b）线宽为0.1 MHz；（c）线宽为0.2 MHz；（d）线宽为0.3 MHz；（e）线宽为0.5 MHz；（f）线宽为1 MHz

Figure  1.  The effect of the laser linewidth on the signal in the OFDM-OQAM system. The line width is (a) 0; (b) 0.1 MHz; (c) 0.2 MHz; (d) 0.3 MHz; (e) 0.5 MHz; (f) 1 MHz

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为了利用导频估计相位噪声，假设CO-OFDM-OQAM系统的子载波总数较少，符号持续时间短，则相位噪声可近似为常数，有如下近似：

将式(4)代入式(2)后进一步可得：

为了估计式(5)中的$\bar \phi _n^{\rm CPE}$，本文为CO-OFDM-OQAM设计了一种频域相位噪声补偿算法，它使用了实虚交替的梳状导频，如图2（彩图见期刊电子版）所示。实值导频用红色五角星表示，虚值导频用蓝色五角星表示，白色圆形代表零值子载波，蓝色圆形代表有效载荷。每组导频占据3个子载波频域位置，中间为实虚交替的导频值，两侧为零值子载波构成的保护间隔，用于消除导频与有效载荷之间的干扰，多组导频等间距插入所有子载波中。实值导频记作${p_{\rm real}}$，虚值导频记作${p_{\rm imag}}$，从图2可知，每个实值导频的一阶最近邻是两个虚值导频，由式(5)可知，该位置的接收信号为：

图  2  本文提出的相位噪声补偿方法导频结构图

Figure  2.  Pilot structure diagram of the proposed phase noise compensation method

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其中：$\xi _{m,n}^{m,n \pm 1}$为固有虚部干扰，由于${p_{{\mathrm{imag}}}}$和$\xi _{m,n}^{m,n \pm 1}$均为纯虚数，所以上式圆括号内是实数。再考虑虚值导频，每个虚值导频的一阶最近邻是两个实值导频，由式(5)可知，该位置的接收信号为：

由于${p_{\rm imag}}$的周围格点处都是实数，$\xi _{m,n}^{m,n \pm 1}$均为虚数，所以上式圆括号内是纯虚数。

在本文所提算法中，实值导频载入的是幅度为$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \cdots$的调幅信号，在传输之前，这些实值导频在复平面上是一条经过原点与实轴重合的直线。虚值导频载入的是值为$\pm 1j, \pm 3j, \pm 5j, \cdots$ 的调幅信号，在传输之前，这些虚值导频在复平面上是一条经过原点与虚轴重合的直线，如图3(a)（彩图见期刊电子版）所示。当导频受到相位噪声的干扰后，由式(6)和式(7)可以看出，实值导频会围绕实轴整体旋转，而虚值导频也会围绕虚轴整体旋转，它们的旋转角度即为相位噪声引起的CPE(图3(b)，彩图见期刊电子版)。在接收端，解调后将导频位置的数据提取出来，并将这些数据与原点一起进行线性拟合，得到两条直线。这两条直线分别与实轴和虚轴所成的夹角即为CPE的估计值。

图  3  在导频中载入的AM信号

Figure  3.  The AM signal loaded in the pilot

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最后，使用估计出的CPE对这一符号周期的信号进行补偿：

式中，${{\boldsymbol{r}}_{{{{n}}}}}$是第n个符号的基带接收信号，$\hat{\boldsymbol{r}}_{{n}}$是经过相位噪声补偿的信号，$\phi$为相位噪声旋转角度的估计值。将补偿相位噪声之后的脉冲幅度调制（Pulse Amplitude Modulation，PAM）信号转换为QAM信号，即可恢复原始信息。本文所提补偿算法的流程如图4所示。

图  4  本文所提相位噪声补偿算法流程图

Figure  4.  Flowchart of the proposed phase noise compensation algorithm

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3.   结果分析与讨论

为了分析本文方法的相位噪声补偿效果，搭建了PDM-CO-OFDM-OQAM通信系统的数值仿真平台，具体如图5所示。该系统的时域采样速率设定为20 Gsamples/s，调制格式为16-QAM，激光器的中心频率为193.4 THz，激光器线宽和子载波数目均可变。首先，生成X和Y偏振的伪随机二进制序列（PRBS），经串并变换后，进行16-QAM星座映射。复数信号经过Offset-QAM模块处理后转换为实值信号，插入如图2所示的实虚交替导频后，输入IFFT模块和综合滤波器组，完成频域到时域的转换，获得时域波形。将经过数模转换器（DAC）处理的基带电信号加载到双平行马赫-曾德尔调制器（DPMZM）的射频端口上，对光载波进行IQ调制。偏振合束器（PBC）将X和Y偏振DPMZM输出的光信号合并，然后输入光纤信道中进行传输。在接收端，偏振分束器（PBS）将光信号分成两路偏振分支信号，使用零差相干探测方法实现光电转换过程，获得基带电信号。偏振复用相干接收机包括两个90°光学混频器和4组平衡光电探测器，本振激光器的输出功率为20 dBm，线宽可调。接收端的数字信号处理模块主要包括：分析滤波器组、FFT模块、信道均衡、相位噪声补偿和16-QAM逆映射。最后，恢复出二进制比特序列进行误比特率计算。

图  5  PDM CO-OFDM-OQAM系统原理示意图，插图显示了它的光谱和补偿流程

Figure  5.  Schematic diagram of PDM CO-OFDM-OQAM system, with insets showing its optical spectra and compensation process

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首先，研究了不同激光器线宽对所提方法相位噪声补偿效果的影响，如图6~图7（彩图见期刊电子版）所示。激光器的总线宽从100 kHz增加至300 kHz，测试了不同线宽下，PDM-CO-OFDM-OQAM的误码率随OSNR的变化情况。

图  6  子载波数为256，光背靠背时，不同激光器线宽的误码率性能

Figure  6.  The bit error rate performance of different laser linewidths with the subcarrier number 256 when light is back-to-back

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图6展示的是子载波总数为256时的误码率曲线。从图6可以看出，给定激光器线宽时，随着OSNR逐渐增大，误码率逐渐减小。在给定的OSNR下，激光器总线宽越大，则误码率越高。当激光器总线宽分别为100 kHz、200 kHz和300 kHz时，误码率达到硬判决前向纠错码极限（Forward Error Correction，FEC）所需要的OSNR分别等于12.3、12.8 和 13.4 dB。

图7展示的是子载波总数为512时的误码率曲线。可见，给定线宽或OSNR时，误码率曲线的变化趋势与图6相同。当激光器总线宽分别为100 kHz、200 kHz和300 kHz时，误码率达到FEC极限时所需要的OSNR分别等于13.7、15.3和18.3 dB。

接着，将OSNR固定为25 dB，测试了不同子载波总数下误码率随激光器线宽的变化情况，结果如图8所示。

图  8  OSNR为25 dB，光背靠背时，本方法在不同子载波数目下的误码率性能

Figure  8.  The bit error rate performance for proposed method under different subcarrier numbers with OSNR 25 dB when light is back-to-back

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从图8可以看出，子载波总数取定值时，随着激光器线宽的增加，误码率性能逐渐劣化。子载波总数分别为256、512和1024时，误码率达到FEC极限时所需要的线宽分别等于801.1、349和138.4 kHz。由此可知，如果给定激光器总线宽，子载波总数越大，则误码率越高。这是因为子载波总数增大时，时域符号的持续时间也会延长，相位噪声引起的ICI急剧增加，导致相位噪声补偿效果变差。此时，仅补偿CPE是不够的，还需要对ICI进行有效补偿。现代相干光通信系统使用的外腔激光器（ECL）通常具有100 kHz左右的线宽。众所周知，线宽越大，激光器相位噪声的影响则越大；反之，则影响越小。因此，本文所提方法完全能够应用于线宽小于100 kHz时的相位噪声补偿。本文方法能够补偿的最大线宽与多种因素有关，包括子载波数量、导频个数等。从图8可以看出，当子载波数量为256时，本文所提方法能够补偿的最大线宽可以达到800 kHz。

图  7  子载波数为512，光背靠背时，不同激光器线宽的误码率性能

Figure  7.  The bit error rate performance of different laser linewidths with subcarrier number 512 when light is back-to-back

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最后，测试了不同实虚交替导频组数目对相位噪声补偿性能的影响。为了达到这个目的，将接收端OSNR固定为25 dB，子载波总数固定为512，激光器总线宽取为100 kHz，每个频域符号内插入的实虚交替导频组数目从1逐渐增大至5，然后测量误码率的变化情况，结果如图9所示。从图9可以看到，只使用1组实虚交替导频时，相位噪声估计过程只能使用一个数据点与原点进行拟合，相位噪声估计精度较差，误码率性能也不理想。随着实虚交替导频组数目的增加，参与拟合的数据点增多，误码率性能逐渐改善。当实虚交替导频组数目增加到4组及以上时，误码率几乎不随导频组数目的变化而变化。因此，在保证相位噪声补偿效果的前提下，本文所提方法只需在每个频域符号内插入4组实虚交替导频即可。

图  9  不同导频组数目对误码率性能的影响

Figure  9.  The influence of different pilot groups on bit error rate performance

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本文所提方法的有效性可以通过实验进行验证，图10给出了所使用的实验系统示意图。一台ECL激光器发射出来的光载波由PBS分解为X偏振光和Y偏振光，分别入射到两个IQ光调制器中。这两个IQ光调制器的射频信号来自于任意波形发生器（AWG）生成的OFDM-OQAM电信号。PBC将两路光信号合并后发射到光信道中进行传输。在接收端，相干探测器将光信号转化为电信号，经过重新采样后，将其存储在高速数字示波器中。最后，采用离线方式执行本文所提的数字信号处理算法，完成相位噪声补偿和信号解调。

图  10  本文方法的验证实验方案图。AWG代表任意波形发生器，I代表同相分量，Q代表正交分量，DSO代表高速数字存储示波器，ECL代表外腔激光器

Figure  10.  Experimental scheme to validate the method proposed in this paper. Acronym key: AWG, Arbitrary Waveform Generator; I, In-phase; Q, quadrature; DSO, digital storage oscilloscope; ECL, External Cavity Laser.

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4.   结　论

本文为PDM-CO-OFDM-OQAM系统提出了基于实虚交替导频的相位噪声补偿方法。该工作的主要创新点在于设计了全新的实虚交替导频方案。通过抽取实值/虚值导频相对于实轴/虚轴的旋转角来估计CPE。实值和虚值导频均为随机调幅信号，因此也可以携带客户数据，而且不会影响信号的峰均功率比。搭建了PDM-CO-OFDM-OQAM通信系统的数值仿真平台，详细研究了不同激光器线宽、子载波总数和实虚交替导频组数目下该方法的相位噪声补偿效果。研究结果表明：当子载波总数低于512时，该方法能够对PDM-CO-ODFM-OQAM系统的相位噪声进行有效地补偿。子载波总数为256、512时，误码率达到FEC极限时所需要的线宽分别等于801.1、349 kHz。本文结果能够为相干光多载波通信系统的相位噪声补偿设计提供有益的参考。