Research on pointing accuracy of liquid crystal phase array based on the variable period grating method
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摘要:
液晶光学相控阵被广泛应用于激光雷达、激光通信以及激光武器，进行激光光束的扫描控制。为了实现液晶相控阵的最优设计和激光光束高精度控制，本文重点研究了工作波长、像素数、像素尺寸及有效灰度数对光束指向精度的影响规律。首先，根据液晶相位调制原理，仿真分析了周期光栅法和变周期光栅法的有效扫描角度和衍射效率；然后，基于驱动电压灰度等分相位调制量，仿真分析了指向误差随工作波长、像素数、像素尺寸以及有效灰度数的变化规律，推导出多变量普适公式；接着，仿真分析了驱动电压灰度非等分相位调制量时的指向精度，并和等分相位调制量的结果进行对比分析；最后，实验验证了有效灰度数、像素数和指向误差的关系，初步证实了经验公式的有效性。本文的研究结果可为液晶相控阵的设计提供理论依据。
Abstract:Liquid crystal optical phase array (LC OPA) is widely used in lidar, laser communication and laser weapons to scan and control laser beams. In order to optimize the design of LC OPA and high-precision laser beam control, we study the influence of working wavelength, number of pixels, pixel size, and effective grey levels on beam pointing accuracy. Firstly, according to the liquid crystal phase modulation principle , the effective scanning angle and diffraction efficiency of the period grating and the variable period grating methods are simulated and analyzed. Secondly, assuming the phase modulation to be equally divided by the driving voltage, the variation law of the pointing error with the working wavelength, the number of pixels, the pixel size, and the effective grey levels is simulated and analyzed. The multivariable universal formula is also derived. Thirdly, the pointing accuracy of the nonuniform phase modulation is simulated, analyzed, and compared with the results of the uniform phase modulation. Finally, the relationship between the effective grey levels and the pointing error is verified by experiments, and the validity of the empirical formula is preliminarily confirmed. The research results can provide a theoretical basis for the design of LC OPA.
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1. 引 言
液晶光学相控阵是一种电控可编程光学相控器，可广泛应用于激光雷达、激光通信和激光武器等领域[1-4]。相较于传统的机械运动式天线，液晶相控阵天线可实现波束的快速指向与扫描，且具有体积小、重量轻、低功耗、可编程控制和多目标识别与探测等特性，因而得到广泛研究[5-7]。1989年，Raytheon公司首次研制得到高性能的液晶相控阵列，实现了±4°的光束离散偏转[8]。随后，Boulder Nonlinear Systems（BNS）公司研制出硅基液晶（LCoS）反射式一维液晶相控阵列，针对1×
4096 和1×12288 阵列，在波长为1550 nm时分别实现了±3°和±6.9°的光束连续偏转[9]。2004年，Rockwell公司研制出双频液晶的二维液晶相控阵列，实现了±1.5°的光束偏转[10]。随后，又研制出4个子区域的紧凑型透射式二维液晶相控阵列[11]。国内液晶相控阵的研究主要集中在哈尔滨工业大学、电子科技大学、中国科学院长春光学精密机械与物理研究所（简称长春光机所）、长春理工大学、中国科学院光电技术研究所等单位。电子科技大学研制了一维液晶光学相控阵，并在波束控制方面进行了深入研究[12-14]。长春光机所研制了二维液晶光学相控阵，并对其响应特性开展了详细研究[15-17]。哈尔滨工业大学开展了液晶相控阵的理论分析和工程应用研究[18-20]。中国科学院光电技术研究所针对液晶相控阵的大角度扫描技术开展研究[21-23]。长春理工大学的研究人员利用优化算法进行液晶相控阵的高精度控制研究[24-26]。若要将液晶相控阵技术成功应用于激光通信、激光雷达以及激光武器中，其需要能够进行大角度光束扫描。目前主要采用二级级联策略来实现光束大角度偏转，第一级采用液晶相控阵实现小角度精调，第二级采用不连续的大角度扫描器件[27-29]。此外，由于液晶相控阵的像素结构导致光束指向精度受限，因而如何提升液晶相控阵的指向精度也被广泛研究。McManamon P F等提出利用变周期光栅法进行光束偏转，并分析了影响液晶相控阵衍射效率的因素[29]。孔令讲等对变周期光栅法的光束偏转精度和衍射效率进行了理论分析和实验验证[12]。2015年，汪相如等针对像素化因素导致的变周期光栅法指向精度低的问题，提出子孔径相干法并提升了扫描精度[14]。丁科、杜升平、郭弘扬等分别对液晶相控阵的响应速度、偏转效率、偏转精度等关键性能进行了研究分析[21-22, 30-31]。2017年，汪相如等对液晶光学相控阵的制作工艺误差、电压量化误差、液晶材料特性等对扫描精度的影响进行了分析[32]。2021年，王承邈提出径向子孔径相干法，进一步提升了液晶相控阵实际应用时的指向精度和稳定性[33]。2022年，范佳鑫等分析了电压量化、电极占空比和电压频率等因素的影响，并采用粒子群优化算法实现液晶相控阵的高精度指向[24]。
总之，指向精度是液晶相控阵的核心指标，非周期光栅法是光束偏转的基本方法。目前的研究主要集中在如何提升光束的偏转精度上。仅有少量工作初步研究了液晶相控阵的部分参数对光束偏转精度的影响，没有形成系统化研究，也没有普适规律和理论公式。掌握液晶相控阵光束偏转精度的变化规律，对液晶相控阵的最优设计和实现高精度光束偏转的意义重大。因此，本文基于变周期光栅法，重点研究了有效灰度数、像素尺寸、工作波长和像素数对光束偏转精度的影响，并给出定量变化规律，为液晶相控阵的应用提供技术和理论支撑。
2. 基于变周期光栅法的光束偏转原理
2.1 液晶的相位调制原理
液晶具有各向异性，可看作单轴晶体材料，其具有寻常折射率no和非常折射率ne。液晶只能对线偏振光进行有效调制，当入射光的振动方向和液晶分子的排列取向成θ角时，其非寻常折射率为：
ne(θ)=neno√no2cos2θ+ne2sin2θ. (1) 当给液晶施加电压时，液晶分子会在电场的作用下进行旋转，从而使角度θ发生改变，进而使非寻常折射率ne(θ)发生改变。对于厚度为d的液晶盒，其相位调制量可表示为：
Δφ=2πλd∫0[ne(z)−no]dz, (2) 式中λ为工作波长。
液晶相控阵采用相息图原理进行光束偏转，其对光束相位进行2π取模（图1（a）），把相位压缩到0～2π范围内，然后再对取模后的相位进行量化（图1（b）），使连续的相位分布离散化。通过控制施加在不同液晶像素上的电压，即可获得如图1（b）所示的相位分布。
图 1 相息图工作原理。(a)取模；(b)量化Figure 1. Working principle of kinoform. (a) Modulus; (b) quantization当光入射到该结构上时，会获得类似闪耀光栅的效果，从而实现光束偏转，且偏转角度满足下式[33]：
θ=arcsinλNd, (3) 式中，d为像素尺寸，N为一个周期内的像素数（量化级次）。
2.2 变周期光栅法
液晶相控阵采用相息图原理进行光束偏转，其基本结构是周期光栅（图1（b）），即每个周期内的像素数相同。但是如果采用这种结构进行光束偏转，则会导致光束扫描不连续，扫描精度低[12]。为了实现光束的高精度偏转，通常采用变周期光栅法(variable period grating，VPG)。具体而言，即对实现任一偏转角度的相位分布，不考虑周期分布，只要其超过2π 就进行取模和量化，最终结果如图2所示。从图2可以看出，其每个周期内的像素数都不同，因此是一个变周期光栅。
由变周期光栅法的工作原理可知，其根据光束的偏转角度进行相位的取模和量化，因此理论上其可以实现任意角度偏转。为了验证其具有连续的角度偏转能力，进行光束扫描角度和衍射效率仿真计算。仿真条件如下：工作波长为1.064 μm、像素数为
1024 、像素尺寸为17 μm。为了和周期光栅法进行对比分析，同时也仿真分析了周期光栅的扫描角度，结果如图3所示。
图 3 周期光栅法和变周期光栅法的衍射效率随衍射角度的变化Figure 3. Diffraction efficiency as a function of diffraction angle for period gratings and variable period gratings从图3可以看出，周期光栅法能够实现的光束偏转的角度有限，而变周期光栅法能实现衍射角度的连续变化，且衍射效率和周期光栅法相同，这和文献[12]报道的结果一致。基于上述结果，本文采用变周期光栅法进行光束指向精度仿真分析和实验验证。
3. 等分相位的指向精度
3.1 偏转精度分析
光束指向精度是指理论偏转角度和光束实际偏转角度之间的差值，差值越小，指向精度越高。在液晶相控阵的实际使用中，给液晶施加的电压是不连续的，即能够施加的电压份数有限。比如，施加10 bit的电压，则其有效电压份数为
1024 。由于施加的电压不连续，导致液晶产生的相位调制量也不连续，离散的相位调制将导致光束偏转误差。为了仿真离散的相位调制对光束偏转精度的影响，假设施加电压与相位呈线性等分关系。在本文中，采用液晶驱动电压的习惯表示方法，即利用灰度值来描述施加在液晶层上的电压。当有效灰度数NG=32时，表示将2π等分为NG份，结果如图4所示。
图 4 NG=32时等分相位调制量和有效电压灰度的关系Figure 4. Uniform phase modulation amount as a function of grey level for NG=32产生指向误差的根本原因是，液晶产生的离散相位无法对任意输入角度产生对应的相位分布。对于偏转角度为θ的光束，液晶相控阵需要产生的相位分布如图5（彩图见期刊电子版）所示，其中黑色的点为液晶像素的中心位置，其和横实线相交处即为该像素的理论相位值。从图5可以看出，角度θ的理论相位位置为黑色虚线，这说明对于角度θ，其可以由液晶相控阵完美产生，没有指向误差。但是当偏转角度如图中红色区域所示偏离θ位置Δθ时，由于液晶相控阵的相位不连续性，导致对于该锥形区域内的角度，无法找到对应相位的准确分布。为了实现光束偏转，只能找出最接近理论偏转角度的相位值。因此，对于所有小于Δθ的偏离角度，能够找到的相位分布都和角度θ的相位分布相同。由此可知，在θ±Δθ范围内扫描角度，液晶相控阵产生的角度都是θ。因此，扫描角度的指向误差为Δθ，即其指向精度为Δθ。
图 5 液晶相控阵离散相位产生指向误差Figure 5. The pointing error caused by the discrete phase of the liquid crystal phase array为了仿真上述误差，设工作波长λ=1.064 μm、像素尺寸PS=17 μm，像素数PN=
1024 ，有效灰度数NG =32。在输入角度为2.06′时，液晶相控阵的离散相位分布如图6（彩图见期刊电子版）所示。
图 6 θ=2.06′的量化相位分布：红色实线代表理想分布，蓝色实线代表NG=32时的相位分布Figure 6. Quantitation phase distribution at θ=2.06′. The red and blue lines represent the ideal phase distribution and the phase distribution for NG=32, respectively图中红色实线为理论相位分布，蓝色实线为有效灰度数NG=32时的相位分布。可以看出，由于有效灰度数较少，导致相位分布和理论相位分布相差较大，从而产生角度偏转误差。将该偏转角度和输入偏转角度做差，就可以得到指向误差。仿真分析了不同偏转角度下的指向误差，结果如图7所示。可以看出，在不同偏转角度下，其指向误差也不同，指向误差随角度呈规律性变化。指向误差在大多数位置处均小于1 μrad，但在个别特殊位置处明显存在指向精度缺陷，最大误差约为3 μrad。该误差分布形式和文献[33]报道的结果类似。
图 7 相位等分的指向误差随偏转角度的变化关系Figure 7. Relationship between the pointing error of uniform phase and the rotation angle3.2 工作波长对指向精度的影响
为了分析指向误差的变化规律，首先仿真分析工作波长对指向精度的影响。仿真条件为：PS=17 μm，PN=
1024 ，NG =32。本文后续的指向误差都采用3.1节的误差仿真方法进行误差计算。由于在不同角度下指向误差不同，选取最大指向误差作为液晶相控阵的指向误差进行仿真分析。据此，仿真了不同波长下液晶相控阵的指向误差，同时为了分析其变化规律，对仿真得到的离散数据进行曲线拟合，结果如图8所示。
图 8 指向误差随波长的变化情况：PS=17 μm，PN=1024 ，NG =32Figure 8. Pointing error as a function of wavelength at the condition of PS=17 μm, PN=1024 and NG =32可以看出，指向误差随波长的增加呈线性增加，其拟合结果为：
ELinear=2.87λ, (4) 其中，ELinear的单位为μrad，在后续的仿真中都采用该单位。
3.3 有效灰度数对指向精度的影响
下面将分析有效灰度数对指向精度的影响，采用如下仿真条件：λ=1.064 μm，PS=17 μm，PN=
1024 。仿真结果如图9所示，可以看出，随着有效灰度数的增加，指向误差逐步减小。同样地，也对离散数据进行曲线拟合，得到指向误差随有效灰度数的变化关系：
图 9 指向误差随有效灰度数的变化情况。λ=1.064 μm，PS=17 μm，PN=1024 Figure 9. Pointing error as a function of effective grey levels at the condition of λ=1.064 μm, PS=17 μm and PN=1024 ELinear=98NG, (5) 可以看出，它们呈反比例函数关系。
3.4 像素尺寸对指向精度的影响
本节分析了像素尺寸对指向精度的影响，采用如下仿真条件：λ=1.064 μm，NG=32，PN=
1024 。计算得到的指向误差与像素尺寸的关系如图10所示。可以看出，随着像素尺寸的增大，指向角误差逐步减小，且呈反比例函数关系。进行曲线拟合后得到如下公式：
图 10 指向误差随像素尺寸的变化情况。λ=1.064 μm，NG=32，PN=1024 Figure 10. Pointing error as a function of pixel size at the condition of λ=1.064 μm, NG=32 and PN=1024 ELinear=52PS. (6) 3.5 像素数对指向精度的影响
本节分析了像素数对指向精度的影响，仿真条件如下：λ=1.064 μm，NG=32，PS=17 μm。得到的结果如图11所示。可以看出，随着像素数的增多，指向角误差逐步减小，且它们之间也呈反比例函数关系。通过曲线拟合得到指向误差随像素数的变化关系：
图 11 指向误差随像素数的变化：λ=1.064 μm，NG=32，PS=17 μmFigure 11. Pointing error as a function of pixel number at the condition of λ=1.064 μm, NG=32 and PS=17 μmELinear=3151PN. (7) 3.6 指向精度的多变量变化规律
下面将研究工作波长、有效灰度数、像素尺寸和像素数多变量对指向精度的影响，对上述得到的单变量变化规律进行归纳分析。结合式(4)～式(7)，指向误差可以写成如下形式：
ELinear=aλNGPNPS, (8) 式中，a是系数。如果能够求出a，则可以得到指向误差的定量变化规律。按照公式（8）的形式，把3.2节的仿真条件，即PS=17 μm，PN=
1024 ，NG =32代入到式（8），得到：ELinear=aλNGPNPS = 1.8×10−6aλ, 其和公式（4）相等，即：
ELinear = 1.8×10−6aλ=2.87λ, 则可以求解出系数
aλ =1.598×106。把3.3～3.5节的仿真条件分别代入式（8），采用上述方法便可以分别求解得到
aNG =1.601×106，aPS =1.601×106，aPN =1.61×106。可以看出，不同仿真结果求出的系数a近似相同。综合分析后选取a=1.6×106。由于在前面的仿真中指向误差的单位是μrad，不符合国际单位制，换算成国际单位制取a=1.6。因此，最终得到的液晶相控阵指向精度的计算公式为：ELinear=1.6λNGPNPS. (9) 为了验证公式（9）的有效性，随机选取10组λ、NG、PN、PS数据（如表1所示）进行分析，然后，针对这10组数据，分别进行数值仿真和计算。最后，通过比较仿真值和计算值的一致性，来评价经验公式的有效性。
表 1 随机选取的液晶相控阵多变量数据Table 1. Random selection data for the multivariable of liquid crystal phase array组别 PS/μm PN NG λ/μm 1 10.0 1000 50 1.000 2 5.0 800 40 0.800 3 8.0 900 60 0.500 4 12.0 512 80 0.635 5 15.0 700 32 0.444 6 9.2 600 64 0.900 7 16.0 888 76 0.456 8 14.0 666 86 0.707 9 18.0 500 90 1.180 10 9.0 1200 100 1.300 仿真和计算结果如图12（彩图见期刊电子版）所示。为了定量评价仿真值和计算值的差异，以二者的差值与仿真值的商作为偏移量。由图12可以看出，10组数据的仿真值和计算值几乎重合，偏移量在0附近浮动，最大值误差约为1.5%。这说明公式（11）有效，可以用于计算液晶相控阵的指向精度。
图 12 10组数据的仿真和计算结果。左侧纵坐标表示仿真值和计算值，右侧纵坐标表示二者的偏移量Figure 12. Simulation and calculation results for 10 sets of data. The left ordinate represents the pointing errors of simulation and computation and the right ordinate represents the deviation4. 非等分相位的指向误差
仿真实验是基于液晶相控阵的驱动电压灰度进行相位灰度等分的，故能够实现相位等分。但是实际情况中，对液晶分子施加电压时，相位随电压非线性变化[34]。即使利用Gamma校正技术进行线性化处理[34]，其有效灰度也无法实现相位的等分。实际情况是，液晶在驱动电压下的响应，不仅其驱动电压和相位呈非线性关系，驱动电压和相位间隔也呈非线性变化，即：相同的驱动电压变化量下，产生的相位调制量也不同。同时，相同的驱动电压变化量，在低压区产生的相位调制量大，在高压区产生的相同调制量小，且相位调制量变化呈e指数变化趋势。为了更接近真实情形，本文采用该e指数变化趋势对液晶相控阵的指向误差进行仿真分析。为了进行定量分析，给出如图13所示的e指数变化关系。图中给出的是有效灰度数为32时的关系曲线，其他有效灰度数下的变化关系也依据该曲线进行量化。
图 13 非等分相位调制量和有效灰度数的关系Figure 13. Nonuniform phase modulation as a function of effective grey levels利用e指数变化关系，在λ=1.064 μm，PS=17 μm，PN=
1024 ，NG =32的条件下进行仿真分析，并和等分相位结果进行对比。对于偏转角度θ=0.41′，首先仿真了其量化相位，如图14（彩图见期刊电子版）所示。可以看出，与等分相位相比，非等分相位在小相位调制量区（低压区）的量化误差大，而在大相位调制量区（高压区）的量化误差和等分相位相同。该特性会导致其在某些小角度下产生较大的指向误差，下面将进行详细分析。
图 14 θ=0.41′时的等分和非等分量化相位分布Figure 14. Uniform and nonuniform quantitation phase distribution at θ=0.41′在相位非等分情况下，液晶相控阵指向误差的仿真结果如图15所示。可以看出，指向误差随偏转角度的变化形式和相位等分结果（图7）类似，绝大部分误差在1 μrad内，且最大误差也在3 μrad左右。但在0°附近存在明显的指向精度缺陷，表现为细锐尖峰，最大值达3 μrad。将图7与图15的数值相减，得到的差值如图16所示。可以看出，等分相位和非等分相位的角度指向误差的峰值位置差别较大，导致二者的差值较大，说明相位的非均匀分布影响指向误差的大小和最大指向误差出现的位置。而差值的最大值出现在0°附近，说明二者在小角度下指向精度差别较大，下面将进行详细分析。
图 15 非等分相位的指向误差随偏转角度的变化Figure 15. Pointing error of nonuniform phase as a function of rotation angle
图 16 不同偏转角度下等分相位和非等分相位的指向误差的差值Figure 16. Difference of pointing errors between uniform and nonuniform phase at different rotation angles根据图16的仿真结果可知，在角度为−0.02′处等分相位和非等分相位指向误差的差别最大。为了分析产生的原因，给出了该角度下液晶相控阵的量化相位分布，如图17所示。图中虚线和实线分别表示等分和非等分相位。可以看出，在该角度下，非等分相位的最大量化相位只有0.122λ，且量化台阶数为2，分别为0和0.12。而对于等分相位，相位为4台阶。由此可知台阶数少导致非等分相位的量化误差大，从而导致指向精度低。
图 17 θ=−0.02′处等分相位和非等分相位的量化相位分布Figure 17. Quantitation phase distributions for uniform and nonuniform phase at θ=−0.02′从上述仿真分析结果可以看出，等分和非等分相位产生的角度指向误差分布类似，且最大误差相同。因此，理论上本文第3节在等分相位下得到的液晶相控阵指向精度公式也适用于非等分相位情形。需要说明的是，本课题组针对非等分相位也进行了类似第3节的仿真分析，结果和预期一致，也得到和公式（9）相同的结果，限于篇幅，不再赘述。
5. 实验验证
为了验证由仿真分析得到的经验公式的有效性，设计和搭建如图18所示的实验光路。波长为1.064 μm的光纤输出激光，准直并经分束棱镜反射后入射到液晶相控阵上，再经液晶相控阵反射进入扩束系统，最后被透镜聚焦在相机上。液晶相控阵由美国Meadowlark公司制造型号为HSP1K-500-1200-PC8，像素数为
1024 ×1024 ，像素尺寸为17 μm，相位调制量为2π，有效灰度数为256。聚焦透镜的焦距为500 mm。成像相机采用大恒图像的MARS-6500-18GTM相机，分辨率为9344 ×7000 ，像素尺寸为3.2 μm。当液晶相控阵使激光光束发生偏转时，聚焦在相机上的焦点光斑就会移动，根据移动量和透镜焦距，即可计算得到偏转角度。仿真结果显示，像素尺寸、像素数、有效灰度数和工作波长都会影响光束的指向精度。对于已有的液晶相控阵列，其像素尺寸是一定的。同时，对于实验系统，其激光器的工作波长也是一定的。因此，本实验仅验证有效灰度数和像素数对指向精度的影响。首先验证有效灰度数对指向精度的影响，选取NG分别为32、64、128和256进行液晶相控阵的驱动控制。为了消除环境的干扰，每次都采集50个光斑，分别计算光斑质心，最后计算出平均质心位置，将其作为本次的光斑质心位置。光斑质心位置计算公式如下：
xc=M∑m=1N∑n=1xi,jIi,jM∑m=1N∑n=1Ii,j, (10) yc=M∑m=1N∑n=1yi,jIi,jM∑m=1N∑n=1Ii,j, (11) 式中，(xi,j, yi,j)分别为(i, j)像素点处的坐标，Ii,j为(i, j)像素的强度灰度值。
利用式（10）和式（11），首先计算出0°时，即没有施加电压时的光斑质心位置（x0，y0），然后给液晶相控阵施加电压，使光束发生偏转，再计算出光束偏转后的光斑质心（x1，y1）。光斑的偏移量便可以用下式求解：
Δc=√(x1−x0)2+(y1−y0)2, (12) 则光斑的偏转角度为：
tanθ=Δc/f, (13) 式中f是聚焦透镜的焦距。
依据仿真结果可知，其在角度为0.02′处的指向误差最大，因此，选取该角度作为液晶相控阵的偏转角度进行指向误差实验。实验中，首先在液晶相控阵没有施加电压时采集50幅光斑图像；然后对于NG分别为32、64、128和256的情况，分别采集50幅光束偏转后的光斑图像。不同情况下采集到的典型光斑图像如图19所示。利用采集到光斑图像和式（10）和式（11）计算质心位置。光斑在水平方向上进行偏转，50次测量得到的x方向上的质心坐标值如图20（彩图见期刊电子版）所示。可以看出，受环境振动等因素的影响，质心坐标有小范围波动，不施加电压、NG为32、64、128、256时的RMS值分别为：0.386、0.198、0.616、0.361和0.269个像素。为了减弱环境振动的影响，对其取平均值，得到没有施加电压、NG为32、64、128、256时，x方向质心坐标分别为793.644、796.101、795.738、795.341、795.329个像素。
图 19 采集的光斑图像。(a)没有施加电压； (b) NG=32； (c) NG=64； (d) NG=128；(e) NG=256Figure 19. Acquired optical spot images. (a) Without the driving voltage; (b) NG=32; (c) NG=64; (d) NG=128; (e) NG=256
图 20 实验测量的水平偏转50次光斑质心Figure 20. Experimental measurement results of the centroid of the light spot with 50 horizontal deflections利用式（12）和式（13）可以求解得到光束的偏转角度。把理论偏转角度和实验测量的偏转角度做差，即可得到不同有效灰度数下的光束偏转精度，如图21所示。为了和经验公式进行对比，图中也给出了仿真结果。
实验结果显示，随着NG的增大，指向误差逐渐减小，且呈反函数形式。经过对比可知，实测的变化关系与仿真结果类似。但是实验的偏转误差大于仿真结果，差值约为13 μrad，分析认为这是由于实验中的环境振动导致的。虽然采取了多次平均的方法是降低振动误差，但是由于测量角度精度在微弧度量级，所以还是会出现测量误差。
然后，验证像素数对指向精度的影响，同样在角度0.02′处进行指向误差实验。为了获得不同像素数，在液晶相控阵列前加装一个可变光阑，通过控制光阑的大小来控制液晶相控阵列的有效区域大小，即像素数的多少。实验中，针对像素数为
1024 、702、512、320、200，分别采集50幅光斑图像，典型光斑图像如图22所示。可以看出，随着光束口径的减小，成像的光斑强度也逐渐减小。同时，由于系统焦距不变，因此在忽略衍射效应的情况下，其光斑大小不变。利用相同的方法计算质心、光束偏转角度和指向精度，结果如图23所示。类似地，为了和经验公式的结果进行比较，也给出了理论计算结果。实验结果显示，随着像素数的增大，指向误差逐渐减小，呈反函数形式，其和计算结果的变化趋势近似一致。同样地，由于环境振动等影响因素消除的不彻底，导致实验测量的指向误差大于理论计算的指向误差。同样偏转误差也大于仿真结果。这是由于没有采用隔振平台，导致存在较小的振动，从而导致出现测量误差。结合图21和图23的数据可以看出，环境振动造成的指向误差在10 μrad左右。文献[35]中图15的结果表明，在不同角度下的指向误差约为0.00067 °，即11.7 μrad左右，和本文的误差约10 μrad基本一致。总体而言，实验结果初步验证了仿真结果和经验公式的有效性。
图 22 像素数分别为 (a)1024 , (b) 702, (c) 512, (d) 320, (e) 200时采集的光斑图像Figure 22. Acquired optical spot images when the pixel numbers are (a)1024 , (b) 702, (c) 512, (d) 320 and (e) 2006. 结 论
本文重点研究了液晶相控阵的指向误差和多种参量之间的定量关系。首先，仿真分析了周期光栅法和变周期光栅法的有效扫描角度。结果显示，非周期光栅法能够近似连续扫描，而周期光栅法仅能实现有限的扫描角度。然后，基于驱动电压灰度线性等分相位调制量，分析了工作波长、像素数、像素尺寸及有效灰度数对光束指向精度的影响，归纳并建立了四变量的指向精度计算公式。接着，仿真分析了更接近实际应用的相位调制量随驱动电压呈e指数变化的情形，并和等分相位调制量进行了对比分析。结果显示，等分相位和非等分相位的指向误差基本相同，但是最大指向误差对应的指向角度不同，文中分析了产生这一情况的原因。此外，采用同样方法分析了光束指向精度随工作波长、像素数、像素尺寸及有效灰度数的变化规律，结果和等分相位调制量的理论公式一致。
最后搭建实验光路，并对有效灰度数、像素数与指向误差的关系式进行验证。结果显示，在角度0.02′处，得到指向精度随有效灰度数、像素数呈反比例函数变化，该结果与经验公式计算得到的曲线变化趋势一致，初步验证了经验公式的有效性。本文得到的指向精度计算公式，适用于像素结构的液晶相控阵列，采用变周期光栅法时的指向精度计算和分析，可为液晶光学相控阵的设计和应用提供理论依据，进一步推动其在激光光束扫描中的应用。
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图 1 相息图工作原理。(a)取模；(b)量化
Figure 1. Working principle of kinoform. (a) Modulus; (b) quantization
图 3 周期光栅法和变周期光栅法的衍射效率随衍射角度的变化
Figure 3. Diffraction efficiency as a function of diffraction angle for period gratings and variable period gratings
图 4 NG=32时等分相位调制量和有效电压灰度的关系
Figure 4. Uniform phase modulation amount as a function of grey level for NG=32
图 5 液晶相控阵离散相位产生指向误差
Figure 5. The pointing error caused by the discrete phase of the liquid crystal phase array
图 6 θ=2.06′的量化相位分布：红色实线代表理想分布，蓝色实线代表NG=32时的相位分布
Figure 6. Quantitation phase distribution at θ=2.06′. The red and blue lines represent the ideal phase distribution and the phase distribution for NG=32, respectively
图 7 相位等分的指向误差随偏转角度的变化关系
Figure 7. Relationship between the pointing error of uniform phase and the rotation angle
图 8 指向误差随波长的变化情况：PS=17 μm，PN=
1024 ，NG =32Figure 8. Pointing error as a function of wavelength at the condition of PS=17 μm, PN=
1024 and NG =32
图 9 指向误差随有效灰度数的变化情况。λ=1.064 μm，PS=17 μm，PN=
1024 Figure 9. Pointing error as a function of effective grey levels at the condition of λ=1.064 μm, PS=17 μm and PN=
1024 
图 10 指向误差随像素尺寸的变化情况。λ=1.064 μm，NG=32，PN=
1024 Figure 10. Pointing error as a function of pixel size at the condition of λ=1.064 μm, NG=32 and PN=
1024 
图 11 指向误差随像素数的变化：λ=1.064 μm，NG=32，PS=17 μm
Figure 11. Pointing error as a function of pixel number at the condition of λ=1.064 μm, NG=32 and PS=17 μm
图 12 10组数据的仿真和计算结果。左侧纵坐标表示仿真值和计算值，右侧纵坐标表示二者的偏移量
Figure 12. Simulation and calculation results for 10 sets of data. The left ordinate represents the pointing errors of simulation and computation and the right ordinate represents the deviation
图 13 非等分相位调制量和有效灰度数的关系
Figure 13. Nonuniform phase modulation as a function of effective grey levels
图 14 θ=0.41′时的等分和非等分量化相位分布
Figure 14. Uniform and nonuniform quantitation phase distribution at θ=0.41′
图 15 非等分相位的指向误差随偏转角度的变化
Figure 15. Pointing error of nonuniform phase as a function of rotation angle
图 16 不同偏转角度下等分相位和非等分相位的指向误差的差值
Figure 16. Difference of pointing errors between uniform and nonuniform phase at different rotation angles
图 17 θ=−0.02′处等分相位和非等分相位的量化相位分布
Figure 17. Quantitation phase distributions for uniform and nonuniform phase at θ=−0.02′
图 19 采集的光斑图像。(a)没有施加电压； (b) NG=32； (c) NG=64； (d) NG=128；(e) NG=256
Figure 19. Acquired optical spot images. (a) Without the driving voltage; (b) NG=32; (c) NG=64; (d) NG=128; (e) NG=256
图 20 实验测量的水平偏转50次光斑质心
Figure 20. Experimental measurement results of the centroid of the light spot with 50 horizontal deflections
图 22 像素数分别为 (a)
1024 , (b) 702, (c) 512, (d) 320, (e) 200时采集的光斑图像Figure 22. Acquired optical spot images when the pixel numbers are (a)
1024 , (b) 702, (c) 512, (d) 320 and (e) 200表 1 随机选取的液晶相控阵多变量数据
Table 1. Random selection data for the multivariable of liquid crystal phase array
组别 PS/μm PN NG λ/μm 1 10.0 1000 50 1.000 2 5.0 800 40 0.800 3 8.0 900 60 0.500 4 12.0 512 80 0.635 5 15.0 700 32 0.444 6 9.2 600 64 0.900 7 16.0 888 76 0.456 8 14.0 666 86 0.707 9 18.0 500 90 1.180 10 9.0 1200 100 1.300 
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