1.   引　言

大气色散校正器（Atmospheric Dispersion Corrector，ADC）通常由棱镜组成，通过棱镜或棱镜组的相对运动补偿大气色散^[1]，相比于图像处理的方法^[2]，使用ADC可以更有效的校正大天顶角时的大气色散，因此国内外大型望远系统主要使用ADC对大气色散进行校正。根据棱镜的相对运动方式可将ADC分为平移式、倾斜式和旋转式^[3-5]。其中旋转式ADC由两组完全相同的胶合棱镜对称放置组成，其外形通常为平行平板，通过棱镜组绕光轴方向的相对旋转补偿大气色散。由于旋转式ADC能很好的补偿大天顶角时的色散，且胶合棱镜相对旋转补偿色散时系统像面位置固定而被广泛应用^[3]。

国内外许多专家学者均针对旋转式ADC展开研究，2010年意大利的Paolo Spanò针对旋转式ADC建立了一种简单的方法来找到与大气色散匹配的几十分之一毫弧秒的二次光谱的玻璃对^[6]。2010年Sebastian Egner等人针对斯巴鲁望远镜设计并研发了一组双胶合旋转式ADC，通过在系统中插入不同滤波片发现棱镜组在不同天顶角的相对旋转角度与波段有关^[7]。2015年，长春光机所的明名根据4m望远镜的高分辨力成像要求，设计了一种旋转式ADC，该胶合棱镜组的相对旋转精度为±0.1°时，大气色散对4m望远镜成像分辨力的影响为1/1000^[3]。2019年Wehbe B等人研发了一套双胶合旋转式ADC设计工具，通过计算所有可能的材料组合时ADC的色散残差，得出残差最小时的材料组合 ^[8]。2021年，华中科技大学的谈昊针对SSST望远镜设计了一组双胶合旋转式ADC，可补偿的最大天顶角为50°，在2.4英寸全视场下像质良好^[9]。随着天文望远镜搭载仪器种类的丰富、精度的提高，对其前端色散校正效果的要求也越来越高^[10-16]。上述研究主要关注于针对某一具体需求进行ADC的设计，并未对ADC在设计中的参数和效果之间的规律进行深入探讨。例如棱镜组对旋角度随天顶角变化的关系及旋转过程中产生的光轴漂移现象等，前者决定了旋转电机控制精度要求；后者影响了望远系统在不同天顶角观测星体时的稳定跟踪性能。两者均在实际应用中对天文望远镜的工程应用产生巨大影响。

本文针对旋转式ADC的大气色散校正展开研究，基于现有旋转式ADC补偿大气色散模型，建立了ADC光线路径矢量模型、推导出出射光色差及光轴偏移的数学模型，分析了各项参数对棱镜对旋角度随天顶角变化关系及光轴偏移的影响，得出了通过控制胶合数量及材料选取的方法有效补偿色散并抑制光轴偏移的旋转式ADC设计方法。本研究为大口径望远镜大气色散校正及稳定追星提供重要理论支撑。

2.   旋转式ADC补偿大气色散基本理论

旋转式ADC通常由两组完全相同的外形为平行平板的胶合棱镜对称放置组成，放置在成像前的平行光路中，两组胶合棱镜绕光轴方向相对旋转相同角度以补偿不同天顶距时的大气色散。这种补偿方法的优点是可以补偿大天顶角的色散且像面位置固定。但胶合棱镜组的相对旋转角度随天顶角变化的非线性关系^[7]，直接影响工程应用中旋转电机的控制精度。此外胶合棱镜组补偿色散的同时，由于材料折射率随波长变化且非线性关系，宽波段的光束经大气折射后穿过ADC会产生光轴偏移，随着胶合棱镜的相对旋转光轴偏移角度也会发生变化，进而形成的光轴漂移现象也将严重影响观星成像的稳定性。

本节建立了ADC旋转补偿大气色散光线路径的矢量模型，并基于该模型推导出了出射光色差和光轴偏移角度的数学模型。

2.1   旋转式ADC补偿大气色散光线路径矢量模型

令旋转式ADC放置在成像前的平行光路中，且组成旋转式ADC的棱镜表面为平面，大气色散经望远系统放大后，不同波长的光线以不同的角度入射到ADC的第一表面，令波长$\lambda$的光以角度$\varphi$入射ADC，图1所示为旋转式ADC光线追迹图。建立图1所示空间直角坐标系，入射光线位于XOZ面，与Z轴夹角$\varphi$，单位为rad，其中${{\text{n}}_0}$、${{\text{n}}_1}$···${{\text{n}}_{\text{n}}}$表示折射率，定义顺时针旋转为正。第一组胶合棱镜绕光轴顺时针旋转角度$\theta$ ，第二组胶合棱镜逆时针旋转相同角度。

图  1  旋转式ADC光线追迹图

Figure  1.  Counter-rotating prisms ADC ray tracing diagram

下载: 全尺寸图片 幻灯片

对于任意光线入射表面上一点N，其出射光线矢量可以表示为 ：

式(1)中，$\text{T}\text{=}\sqrt{{\text{n }'}^{\text{2}}-{\text{n}}^{\text{2}}{+}{{(}{\text{N}}_{{0}}\cdot \text{In})}^{\text{2}}}-{\text{N}}_{\text{0}}\cdot \text{In}$，${{{\mathrm{N}}}_{0}}$为点N处的单位法向量，n、n′分别为入射表面两边折射率^[17]，${{\mathrm{In}}}$为入射光线方向矢量；${{\mathrm{Out}}}$为出射光线方向矢量。

当棱镜绕Z轴旋转$\theta$角时，光线入射表面的单位法向量${{{\mathrm{N}}}_{0}}$变为${\mathrm{N}'}_{0}^{\cent}$，${{\mathrm{N}}'}_{0}^{\cent}$可表示为：

式(2)中${{{\mathrm{R}}}_{\theta }}{ = }\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\cos}\theta }&{{ - \sin}\theta }&{0} \\ {{\sin}\theta }&{{\cos}\theta }&{0} \\ {0}&{0}&{1} \end{array}} \right]$。

基于公式(1)、(2)，以双胶合旋转式ADC为例，令n=2，设入射光以$\varphi$角入射表面1，则当胶合棱镜组分别转动角度$\theta$时，通过光线追迹计算得到第6面出射光线即ADC出射光线的方向矢量为:

式(3)中，

其中${T_6}$、${T_1}$、${T_2}$、${{{\mathrm{N}}}_{{{2}^{\theta }}}}{{\mathrm{In}}_{2}}$、${T_5}$和${{{\mathrm{N}}}_{{{5}^{{ - \theta }}}}}{{\mathrm{In}}_{5}}$均为中间变量；${{{\mathrm{N}}}_{{{2}^{\theta }}}}$和${{{\mathrm{N}}}_{{5^{{ - \theta }}}}}$为表面2和表面5绕Z轴分别顺时针、逆时针旋转$\theta$角后的单位法向量；${{\mathrm{In}}_{2}}$和${{\mathrm{In}}_{5}}$分别为表面二和表面5的入射光方向矢量。

故波长$\lambda$的光以角度$\varphi$入射分别顺时针、逆时针旋转角度$\theta$的双胶合ADC时，基于公式(3)即可得出其出射光的方向矢量。同理，基于公式(1)和(2)也可推出三胶合及多胶合旋转式ADC出射光方向矢量。旋转式ADC光线路径矢量模型适用于所有平行光入射且棱镜表面为平面的胶合棱镜，但针对胶合数量较多的ADC进行光线追迹时计算时间相对较长。

2.2   出射光色差模型

波长${\lambda _1} \cdots {\lambda _n}$的光线分别以角度${\varphi _1} \cdots {\varphi _n}$入射ADC，经ADC补偿色散后出射，其出射光的方向矢量分别为${{\mathrm{OUT}}_{{(}{{\lambda }_{1}}{,}{{\varphi }_{1}}{)}}}$$\cdots {{\mathrm{OUT}}_{{(}{{\lambda }_{n}}{,}{{\varphi }_{n}}{)}}}$。为评价ADC的色散补偿效果，以不同波长出射光线矢量差的模评价该波段的色差，则出射光束的色差最大值D可表示为：

2.3   光轴偏移矢量模型

当不同波长的光线以不同入射角入射胶合棱镜组，理想状态下不同波长的光线将沿光轴方向出射，但由于材料折射率随波长变化的关系非线性，ADC在实际补偿色散时，不同波长的光线会以微小的角度差沿着不同方向出射。

图2所示为光轴偏移示意图，不同波长光线出射光与主光轴的夹角为${\xi _{\text{i}}}$，为评价出射光整体与光轴之间的夹角${\xi _0}$，以不同波长出射光线矢量在空间坐标轴三个方向的均值$X$、$Y$、$Z$评价整体出射光的方向矢量，则整体出射光矢量$\overline {{{\mathrm{OUT}}}}$可表达为：

图  2  光轴偏移示意图

Figure  2.  Schematic diagram of optical axis offset

下载: 全尺寸图片 幻灯片

其中，${X_{({\lambda _i},{\varphi _i})}}$、${Y_{({\lambda _i},{\varphi _i})}}$和${Z_{({\lambda _i},{\varphi _i})}}$分别为波长${\lambda _i}$的光以角度${\varphi _i}$入射ADC第一表面后，最后一面出射光矢量在空间坐标轴X、Y、Z上的对应值。

则ADC出射光束矢量平均值的光轴偏移角度${\xi _0}$为：

3.   仿真分析

3.1   ADC各项参数对消色差补偿效应的影响

本节基于数学模型仿真分析了透镜材料、胶合型式对消色差补偿效应的影响。根据常规研究对象，拟定仿真的参数如表1所示，对旋转式ADC校正不同天顶角的大气色散过程展开研究。

表  1  仿真参数表

Table  1.  Simulation parameter table

仿真参数
大气压强	约78640 Pa
气温	约20 °C
工作波长	0.4 μm~0.8 μm
天顶角	0°~70°

下载: 导出CSV 

| 显示表格

通过选取Schott、CDGM和Sumita玻璃库的材料，仿真波长0.4 μm~0.8 μm的光线路径及最大天顶角时ADC的色散校正情况，得到该参数下出射光残余色散最小时的胶合面倾角。表2为仿真结果数据表。

表  2  ADC结构仿真数据表

Table  2.  Structure simulation data of ADC

ADC型式		材料组成	胶合面倾角仿真结果/°
双胶合	2-1	SK13、KZFS6	39.154
	2-2	P-SK100、KZFS6	34.64
	2-3	D-ZK3L、KZFS6	34.313
三胶合	3-1	SK13、KZFS6、D-ZK3L	38.810、0.534
	3-2	SK8、KZFS1、SK9	13.160、-20.212
四胶合	4-1	D-ZK21、K-SK4、 F7、N-SF19	−35.605、20.515、−29.321
	4-2	K-LAFK65(M)、SF9、 SK13、KZFS6	0.149、0.143、38.366

下载: 导出CSV 

| 显示表格

基于上述倾角结构的旋转式ADC，通过正交实验法仿真得到各天顶角下出射光线色散最小时的棱镜组旋转角度。表3所示为不同参数ADC对旋角度随天顶角变化的仿真数据表。

表  3  不同型式的旋转式ADC对旋角度随天顶角变化仿真结果表（单位：°）

Table  3.  Simulation results of different types of ADC with varying rotation angles with respect to the zenith angle (Unit: °)

天顶角	棱镜组旋转角
	2-1	2-2	2-3	3-1	3-2	4-1	4-2
70	0.004	0.029	0.014	0.000	0.000	0.000	0.000
69	18.502	18.485	18.510	18.501	18.500	18.500	18.497
68	25.697	25.688	25.707	25.703	25.701	25.695	25.691
65	38.651	38.649	38.663	38.657	38.651	38.647	38.643
60	50.887	50.881	50.892	50.884	50.878	50.883	50.874
50	64.269	64.269	64.272	64.269	64.258	64.266	64.261
40	72.200	72.201	72.201	72.198	72.194	72.198	72.195
20	82.380	82.381	82.380	82.380	82.376	82.379	82.379
0	90.000	90.000	90.000	89.994	90.000	90.000	90.000

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图3(a)所示为对旋角度随天顶角变化曲线图，可以直观的看出不同材料组合、不同胶合型式的旋转式ADC其棱镜组旋转角度随天顶角变化的曲线重合度较高。图3(b)为红框内曲线放大图，可以看出各曲线细节上微有差别。

图  3  ADC对旋角度随天顶角变化曲线图

Figure  3.  ADC rotation angle variation curves with zenith angle

下载: 全尺寸图片 幻灯片

为进一步分析ADC各参数对消色差补偿曲线的影响，表4为所有胶合类型的ADC旋转角度差值统计结果表，表中列出了上述所有ADC在相同天顶角时，对旋角度的峰谷值、及对旋角度差值的平均值和均方根值。天顶角为70°时，不同参数ADC旋转角度的峰谷值、及其差值的平均值和均方根值最大，分别为0.029°、0.011°和0.016°，与棱镜组总旋转角度90°相比相差较小。因此组成ADC材料的选取及ADC胶合型式对ADC消色差补偿曲线影响均较小。

表  4  所有胶合类型的ADC旋转角度差值统计结果表

Table  4.  Statistical results of rotation angle differences for all types of ADCs

天顶角(°)	所有胶合类型ADC旋转角度差值(°)
	PV	平均值	rms
70	0.029	0.011	0.016
69	0.025	0.008	0.011
68	0.019	0.008	0.010
65	0.02	0.008	0.009
60	0.018	0.007	0.008
50	0.014	0.006	0.007
40	0.007	0.003	0.004
20	0.005	0.002	0.002
0	0.006	0.002	0.003

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图4所示为所有胶合类型的ADC转动角度差值统计图，可以看出棱镜转动角之差的峰谷值、平均值和均方根值均随天顶角的增大而增大。对于本系统而言，不同参数ADC在补偿相同天顶角大气色散时的棱镜转动角之差，在天顶角0~40°时相对稳定，其波动范围小于0.002°；天顶角在40~65°时，棱镜转动角之差随天顶角的增加而增加；天顶角在65~70°时，棱镜转动角之差随天顶角增大而增大的速度明显提升。

图  4  所有棱镜转动角差值统计图

Figure  4.  Statistical data of all prism rotation angle differences

下载: 全尺寸图片 幻灯片

上述不同型式的ADC基于表3所列角度旋转补偿大气色散过程中，其出射光色差统计数据如表5所示：相同胶合数量不同材料组合时ADC出射光色差的最大值和平均值波动较大，可以得出材料的选取对ADC色散补偿效果影响较大。

表  5  不同型式的ADC出射光色差统计数据表（单位：″）

Table  5.  Different Types of ADC Output Color Deviation Statistical Data Table (Unit:″)

ADC结构型式		出射光色差
		最大值	平均值
双胶合	2-1	0.0015	0.0008
	2-2	0.0048	0.0025
	2-3	0.1038	0.0591
三胶合	3-1	0.0015	0.0008
	3-2	0.0021	0.0013
四胶合	4-1	0.0004	0.0002
	4-2	0.0016	0.0008

下载: 导出CSV 

| 显示表格

针对不同胶合型式下色散补偿效果最好的ADC绘制其组成材料折射率曲线如图5所示，图5(a)、图5(b)和图5(c)分别为2-1、3-1和4-1ADC材料折射率曲线。其中组成2-1ADC和3-1ADC的材料折射率曲线在中心波长0.6μm附近相交，而对于胶合数量较多的4-1ADC组成材料的折射率曲线不相交。

图  5  折射率曲线图

Figure  5.  Refractive index curve image

下载: 全尺寸图片 幻灯片

通过对比各ADC组成材料的折射率随波长变化曲线：组成2-1、2-2、3-1材料的折射率曲线相交在中心波长附近位置，组成2-3、3-2、4-1材料的折射率曲线在中心波长附近位置不相交，组成4-2材料的四条折射率曲线分别两两相交在中心波长附近位置。

因此，在选择组成ADC的材料时，选择中心波长折射率相同或非常接近的材料可减小色散残差、提高ADC色散补偿效果。通过对比不同胶合型式时ADC出射光色差，可知随着胶合数量的增加，无需限制材料折射率曲线相交，也可以获得更小的色散残差、更好的色散补偿效果。

综上，不同参数的旋转式ADC，其旋转角度的差值随天顶角的增大而增大；但总体而言，在相同大气色散时不同参数的胶合棱镜组相对旋转角度相差较小。在实际工程应用中，由于不同型式旋转式ADC棱镜组对旋角度的精度要求相差不大，在设计旋转式ADC、选择组成ADC的材料时，通过选择在中心波长折射率相同或非常接近的材料，可减小色散残差、提高大气色散补偿效果；对于胶合数量较多的ADC无需限制材料折射率曲线相交，也可获得较好的色散补偿效果。

3.2   ADC各项参数对系统光轴偏移的影响

天文望远镜的口径随着望远镜成像要求的提高而增大，其极限分辨率随之减小。4 m望远镜在其中心波长0.8 μm时的极限分辨率为0.0503″，而口径10.4 m的GTC望远镜在波长0.6 μm时的极限分辨率为0.0145″。由于光轴偏移角度通常也为秒级，因此在望远镜系统进行光纤耦合、角度跟踪等实际工程应用时产生的误差不可忽视。

本节基于3.1节所述仿真参数及材料库，通过正交实验法计算仿真大量数据仿真了不同参数的ADC对其旋转校正色散过程中产生的光轴漂移现象，其中各ADC补偿后的色差均小于0.0048″。图6所示为光轴偏移角度随天顶角变化曲线，可以看出不同胶合型式ADC的光轴偏移角度与天顶角之间的关系没有相同的变化趋势，且无任何线性规律，无法对系统误差进行固定补偿。

图  6  光轴偏移角随天顶角变化关系曲线

Figure  6.  Curve of the relationship between optical axis offset angle and zenith angle variation

下载: 全尺寸图片 幻灯片

为进一步研究光轴偏移与ADC组成参数的关系，不同型式ADC旋转补偿色散过程中系统光轴偏移角度统计如表6所示。通过对比不同胶合型式的平均光轴偏移角度可以得出平均光轴偏移角度随胶合数量的增加而减小且每增加一个胶合面，光轴偏移角度可下降一个数量级。

表  6  不同型式ADC光轴偏移角度统计表（单位：″）

Table  6.  Statistical Table of Optical Axis Offset Angle for Different Types of ADCs (Unit: ″)

结构形式		材料组成	光轴偏移角度最大值	光轴偏移角度平均值	平均光轴偏移角度
双胶合	2-1	SK13、KZFS6	1.83E-02	1.05E-02	2.34E-02
	2-2	P-SK100、KZFS6	6.37E-02	3.62E-02
三胶合	3-1	SK2、KZFS1、P-SK57Q1	3.01E-03	1.64E-03	2.39E-03
	3-2	N-ZK7、KZFS6、SK1	6.08E-03	3.15E-03
四胶合	4-1	SSK1、D-ZK21-25、KZFS4、LAK21	1.04E-03	6.05E-04	7.26E-04
	4-2	K-LAFK65(M)、SF9、SK13、KZFS6	1.58E-03	8.47E-04

下载: 导出CSV 

| 显示表格

综上，对于本望远系统校正其大气色散，平均光轴偏移角度随旋转式ADC胶合数量的增加而减小；每增加一面胶合面，光轴偏移角度可降低一个数量级。对于较小胶合数量的旋转ADC可通过选择折射率曲线相交在中心波长的材料降低光轴偏移。

4.   旋转式ADC的优化设计方法

旋转式ADC的优化设计除考虑光学材料选取和加工成本外，还需要考虑色散补偿效果、旋转电机控制精度可行性以及系统光轴漂移是否满足稳定观星的要求。由3.1节仿真结果可知，对于某一确定的系统，组成ADC材料的选取影响色散补偿效果，但ADC材料的选取及胶合型式对消色差补偿曲线影响均较小。故在实际应用时，应在考虑材料选取等因素的同时平衡系统残余色散和光轴漂移对成像效果的影响。

提出大口径天文望远系统设计旋转式ADC的流程如图7所示，具体方法如下：

图  7  旋转式ADC设计流程图

Figure  7.  Design flowchart of the counter-rotating prisms ADC

下载: 全尺寸图片 幻灯片

1. 查询是否有折射率曲线相交在中心波长附近的材料以组成双胶合型式的ADC，通过仿真计算该双胶合ADC在望远系统中的残余色散和光轴偏移是否满足成像要求。

2. 若现有材料折射率曲线不满足要求，或双胶合ADC引入的光轴偏移较大影响成像效果时，增加ADC的胶合数量并仿真计算该胶合型式的旋转式ADC出射光色差及光轴偏移，直至残余色散及光轴偏移满足系统的观星要求。

基于以上规律，即可确定ADC的结构形式，补偿系统的色散和光轴偏移。

根据上述设计方法，针对3.1节天文望远镜的仿真参数设计旋转式ADC，设计了两种ADC结构，结果如下：

1. 选择折射率曲线相交在中心波长0.6 μm附近位置的材料即SCHOTT的SK13和KZFS6，两材料折射率曲线相交在0.6031 μm，经仿真计算得胶合面倾角为38.905°时，系统色散校正效果最好；仿真该结构型式的ADC在不同天顶角时系统的出射光色差及光轴偏移角度，得出ADC旋转补偿色散过程中出射光色差最大值为0.0015″，平均值为0.0008″；天顶角为70°时系统光轴偏移角度最大，为0.0183″；且光轴偏移角度随天顶角的减小而减小；经统计天顶角70°~0°过程中，系统光轴偏移角度平均值为0.0105″。

2. 增加胶合数量以减小光轴偏移提高成像效果。选择了SCHOTT的N-ZK7、KZFS6和SK1玻璃材料组成三胶合ADC，经仿真计算得胶合面倾角分别为9.031°和-35.662°时，系统色散校正效果最好；仿真该结构型式的ADC在不同天顶角时系统的光轴偏移角度，得出ADC旋转补偿色散过程中出射光色差最大值为0.0037″，平均值为0.0018″；该系统光轴偏移角度最大值为0.0061″；经统计天顶角70°~0°过程中，系统光轴偏移角度平均值为0.0032″。

上述设计中双胶合型旋转式ADC色散补偿效果较好，但光轴偏移角度大；三胶合型旋转式ADC色散补偿效果略微降低，但光轴偏移角度很小。三胶合型旋转式ADC出射光色差平均值增加了0.0010″，但相比双胶合型其光轴偏移角度平均值下降了0.0073″。工程应用时可根据具体指标要求选取ADC的型式及材料组合，提高ADC色散补偿效果及望远镜稳定追星性能。

5.   结　论

本文针对不同参数对旋转式ADC色散补偿效果、消色差补偿曲线的影响及ADC旋转补偿过程中的光轴漂移现象展开研究，分析了不同参数的旋转式ADC在天文观测中对色散补偿效果、消色差补偿曲线和光轴偏移的影响。建立了旋转式ADC补偿大气色散的相关数学模型，经仿真得出，选择折射率在中心波长附近位置相同的材料可以提高ADC的色散补偿效果；不同参数的旋转式ADC补偿相同天顶角的大气色散时，其旋转角度的差值随天顶角的增大而增大；但不同材料、不同胶合数量对旋转曲线的影响相差不大。望远系统光轴偏移角度随ADC胶合数量的增加而减小；每增加一个胶合面，光轴偏移角度可下降一个数量级。实际工程应用中，可以首先选择折射率曲线相交在中心波长附近位置的材料组成双胶合旋转式ADC，并仿真计算该ADC的色散补偿效果及光轴偏移；当双胶合ADC引入的光轴偏移过大、色散校正效果较差、或没有合适的材料可供选择时，可以增加ADC胶合数量，直到ADC的色散补偿及光轴偏移满足望远镜稳定追星及成像指标要求。