1.   引 言

法布里-珀罗(F-P)标准具是一种精密光学元件，广泛应用在激光技术、计量学、原子光谱学、光散射、等离子体诊断学等方面。尤其是在激光技术领域内，F-P标准具可以实现激光振荡、激光选频、激光扫描干涉仪、光束发散角压缩等功能，因此F-P标准具制造是重要的单元技术之一^[1,2,3,4,5]。近年来，随着超窄带光波滤波技术的应用，如高功率GHz窄线宽固体激光器、光纤通信、测风激光雷达、物质光谱测量、大气污染监测等技术的发展^{[6,7,8,9,10,11,12]}，对F-P标准具的需求越来越广泛，并且对性能指标要求也更高。F-P标准具在原理上基于多光束干涉，实际结构简单，主要有间隔层为空气和固体介质两大类。随着镀膜沉积技术的发展，基于固体介质间隔层的镀膜F-P标准具技术得到应用。本文基于薄膜光学原理，通过数值实验，重点研究了固体介质厚度误差和入射光发散角对1 064 nm激光标准具的性能影响，最后给出了基底厚度误差补偿的定量计算结果。

2.   基本理论

F-P的制作方法一般是选定间隔层，然后在间隔层两侧制备反射率较高的薄膜，通过调整间隔层的光学厚度可实现不同激光波长的选通。间隔层一般为空气或者固体介质：间隔层为空气时，两侧使用镀反射膜的平行平板；间隔层为固体介质时，两侧直接镀制反射膜。不论是何种结构，F-P标准具都是由两个平行的反射面和中间的介质层组成，示意图见图 1。入射光通过薄膜a后在a和b之间多次反射，在薄膜b透射后形成多光束干涉，由于入射光波通过间隔层的相位厚度在不同波长下不同，因此可以实现不同波长的激光透射^[13]。

图  1  F-P薄膜标准具示意图

Figure  1.  Schematic diagram of F-P film etalon

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图  2  F-P薄膜标准具关键技术参数

Figure  2.  Key technical parameters of F-P film etalon

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设F-P标准具的折射率为N_s，入射介质和出射介质均为空气，折射率都为1，入射角度为0°。光波在a与间隔层的界面反射振幅为r_a、透射振幅为t_a、反射相移为φ_a、透射相移为φ′_a；光波在b与间隔层的界面反射振幅为r_b，透射振幅为t_b、反射相移为φ_b、透射相移为φ′_b。间隔层基底折射率为N_s=n-ik，物理厚度为d_s，对于不同入射光波的间隔层相位厚度δ为：

式中，λ为入射光波长，α=2πnd_s/λ和β=2πkd_s/λ为等效参数，则光波的相位传递因子记为下式：

入射光波在间隔层内多次传输的最终电场振幅透射系数为：

透过率为：

在此处将界面的光波振幅的反射和透射系数写成下式：

则式(4)可以写成下式：

根据三角公式有：

透过率表达式为：

对分母进行整理：

由于T_a=|t_a⁺|²、R_a=|r_a⁺|²、T_b=|t_b⁺|²、r_a=|r_a⁺|²，因此透过率可以写成下式：

在这里记锐度系数F为：

则有：

对于特定结构的薄膜F-P标准具，有:

满足上式的λ记为极值最大波长点，x为干涉级次。标准具透射率曲线是周期性的陡峭波峰，峰值半高度所对应的波长间隔为半宽度，计算方法见式(13)。连续两个透射极大的波长为相邻的干涉级次，连续两个波峰之间的宽度称为自由谱间距(FSR)，计算方法见式(14)。

3.   数值实验

3.1   标准具的基本性能模拟

固体间隔层F-P标准具一般采用如下的薄膜-基底-薄膜结构：

H(LH)^m/Substrate/(HL)^mH ,

其中，H和L分别为高折射率和低折射率材料，在下文中的数值实验中折射率分别取为2.10和1.46，其光学厚度为λ₀/4，m为高低折射率材料的交替次数，中心波长选择为λ₀=1 064 nm；Substrate为固体介质基板，其折射率为1.447。

首先考虑到基板可加工的几何厚度，根据式(12)，在这里选择为1 064 nm波长处x=2 500，几何厚度为0.919 1 mm。模拟计算了当基板厚度一定的情况下，反射膜堆m因子对中心波长λ₀附近光谱透过率的影响，见图 3；其次，选择膜层堆数m=8，模拟计算基板几何厚度对中心波长λ₀附近的光谱透过率的影响，见图 4。

图  3  不同膜层堆数厚度的透过率

Figure  3.  Transmittance spectra of F-P coating etalon with different stack number

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图  4  不同基板厚度的透过率(m=8)

Figure  4.  Transmittance spectra of F-P coating etalon with different substrate thickness(m=8)

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第一种模拟情况：在基板厚度一定的条件下，当膜层堆数增加时，反射膜的反射率增加，影响到标准具中心波长的带宽，对自由光谱区宽度无影响。图 5给出了膜层堆数对中心波长的半宽度影响，随着膜层堆数m的增加，中心波长半宽度呈量级减小，膜层每增加3，中心波长半宽度减小一个量级。从图中可以看出，m数不宜过大，在满足设计的线宽需求前提下尽量选择堆数最少的膜系结构，膜层堆数过多导致薄膜制备的难度增加。

图  5  膜层堆数m对中心波长半宽度的影响

Figure  5.  Influence of the stack numbers on the half width of the center wavelength

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第二种模拟情况：在膜层堆数一定的条件下(m=8)，基板厚度影响到自由光谱区的宽度。如图 6所示，随着基板厚度的增加，在1 063~1 065 nm之间的透射区增加。两个透射区之间的自由光谱区随着基板厚度的增加而减小。

图  6  基底厚度对自由光谱区的影响

Figure  6.  Influence of the substrate thickness on the free spectral range

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3.2   标准具基板厚度的影响与补偿

由于F-P标准具的基底光学厚度决定了中心波长位置和透过率大小，数值模拟计算了基底几何厚度误差对中心波长透过率的影响。如图 7(a)所示，当基底的几何厚度误差范围大时，如果误差为λ₀/(2n_s)，中心波长的透过率极大再次出现，因此中心波长最高透过率是以λ₀/(2n_s)

图  7  基板厚度绝对误差对中心波长特性的影响

Figure  7.  Influence of the substrate thickness absolute deviation on the characteristic of center wavelength

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为周期交替出现的。当基底的几何厚度误差范围很小时，如图 7(b)所示，基底的几何厚度误差势必导致中心波长透过率的大小，当基底厚度超过0.02 μm时，中心波长最大透过率为0。由此可见，基板的加工控制的误差应在纳米量级，如果控制在微米量级，则需要通过对表面进行补偿，校正中心波长的位置达到最大透过率位置。下面讨论如何补偿的问题。

当基板几何厚度存在误差时，只有改变其等效的光学厚度满足最大透射条件，才能实现中心波长的调整。显然，如果知道了基板的纳米量级的误差，可以通过薄膜进行补偿，如基板材料采用熔融石英，则可以用SiO₂薄膜对基板的误差进行补偿。但是纳米量级的厚度误差测量难以精确实现，因此选择间接等效的方式对基板的光学厚度进行补偿。图 8给出了基板和镀膜基板的激光透射角度效应，随着角度的增加，激光透射极大值的角度呈现周期性，并且相邻透射极大的角度间隔逐渐减小，因此通过改变标准具的使用角度，可以实现光学厚度的等效补偿，在不同角度下仍可出现激光透射的最大值。

图  8  F-P镀膜标准具的角度效应

Figure  8.  F-P coating etalon angle effect

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根据上述思想，假设基板厚度的绝对误差取值范围为-1~1 μm，入射角度取值范围为0~5°，中心波长为1 064 nm，膜层堆数m=8，基板的厚度分别选择0.735、0.919、1.103和1.287 mm，模拟计算了不同几何厚度的基板在不同误差下的角度补偿效应，结果见图 9。从计算结果可以得到如下的结论：(1)在0度入射时，1 064 nm波长的透过率最大值是以λ₀/(2n_s)为周期出现；(2)厚度的正、负绝对误差通过入射角度没有对称性，即正向误差和负向误差的补偿角度不同，负向误差比正向误差的补偿角度大；(3)同样误差绝对值下，正向误差补偿角度要大于负向误差补偿角度；(4)随着基板厚度的增加，厚度误差可补偿的角度也增加。

图  9  基板厚度误差与角度入射的匹配

Figure  9.  Matching of substrate thickness deviation and incidence angle

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3.3   入射光束发散角的影响

激光发散角对标准具性能的影响是不可忽略的，对于光学薄膜元件，可以将发散激光等效具有一定入射角的光锥，光锥的半宽度角即为光束的发散角^[14]。在此处以基板厚度0.919 mm、中心波长1 064 nm、入射角度为0°、薄膜结构分别为H(LH)^m/Substrate/(HL)^mH和L(LH)^m/Substrate/(HL)^mL，在这里将第一个膜系记为A，第二个膜系记为B，m取值为8。数值计算了光束发散角对标准具性能的影响，图 10给出了激光发散角对1 064 nm附近光谱的影响，发散角分别取为0.025°、0.050°、0.075°、0.1°，在相同发散角作用下，两个膜系的标准具性能变化趋势一致。从透射率光谱上看，随着光束发散角的增加，光谱形状退化方向一致，透射区的中心波长向短波方向平移、中心波长透过率下降、透射区带宽展宽，极大透过率下降等现象。取光束发散角0~0.1°(步长为0.005°)，获得发散角对通带半宽度、中心波长偏移、中心波长透过率和最大透过率的影响规律，见图 11。

图  10  发散角对激光薄膜标准具性能的影响

Figure  10.  Influence of the divergence angle on the transmittance of two types of film structure

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图  11  发散角对激光薄膜标准具性能的影响

Figure  11.  Influence of the divergence angle on the characteristic of the laser coating etalon

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如图 11(a)所示，两个膜系中心波长向短波方向的平移量相同，平移量随着发散角的增加而增加，在0.1°发散角以内，光谱平移量可达到-4×10^-4 nm；在通带半宽度性能上，A膜系结构的标准具半宽度变化大于B膜系结构，见图 11(b)。在0.1°发散角内，A膜系结构的通带半宽度由2.6×10^-4 nm增加到4.7×10^-4 nm，B膜系结构的通带半宽度由5.4×10^-4 nm增加到6.8×10^-4 nm。图 11(c)和图 11(d)给出发散角对中心波长透过率和通带最大透过率的影响：A膜系结构的透过率下降低于B膜系结构，在0.1°发散角内，A膜系结构的标准具在1 064 nm波长的透过率从100%下降到42.45%，通带最大透过率从100%下降到66.40%。B膜系结构的标准具透过率从100%下降到67.57%，通带最大透过率从100%下降到87.05%。通过对上述4个主要性能的分析，从膜系结构的特点来说，A膜系结构的初始半宽度小于B膜系结构，这是由于两者的反射率不同所导致，可以确定初始带宽越窄，上述4个性能变化就剧烈，从这个方面考虑膜层的反射率不能选择太高，而且膜系最外层最好选择为低折射率膜层。对于发散角的影响，当标准具在激光谐振腔外应用时，必须设法压缩激光的发散角，而在激光谐振腔内使用时，则超窄通带的标准具有助于压缩激光线宽。因此，在使用标准具时首先考虑其使用环境，然后在确定相关的标准具技术指标。

4.   结 论

基于多光束干涉理论，针对固体介质间隔层的镀膜标准具，以1 064 nm激光镀膜标准具为例，研究了反射膜堆数对反射带宽、基底厚度对自由光谱区的影响，基底厚度误差对标准具中心波长定位和透过率的影响，定量计算了基底误差与工作角度的补偿效应，发散角对激光标准具中心波长平移、通带半宽度、中心波长透过率和最大透过率的影响。研究结果表明：标准具的带宽随着膜层堆数增加而减小，自由光谱区随着基板厚度的增加而减小；基底厚度误差存在周期效应，即周期误差为λ₀/(2n_s)时仍能出现干涉极大值，并且在周期误差以内可以通过工作角度对误差进行补偿；膜系结构H(LH)^m/Substrate/(HL)^mH与膜系结构L(LH)^m/Substrate/(HL)^mL的两个标准具相比，随着激光发散角的增加，标准具的中心波长短移，通带半宽度、中心波长透过率和最大透过率下降，第二个结构对激光发散角敏感度较差。通过本文的研究，可以提供标准具的设计准则和对不同应用条件的标准具性能进行判断，通过镀膜技术可实现固体介质间隔层的激光标准具制造。