近年来，一种在常温下具有高效脉冲光子数分辨能力的单光子探测器 — 多像素光子计数器(Multi-Pixel Photon Counter,MPPC)逐渐受到重视^[1]。它由数百至数万个直径为几到几十微米的雪崩光电二极管(Avalanche Photodiode,APD)单元阵列集成在同一个单晶硅片上构成,每个APD单元串联着数百千欧的电阻用于及时淬灭雪崩击穿产生的大电流。所有APD单元共用一个取信号电极, 并且工作在盖革模式下。 在这种模式下， APD单元的偏置电压高于击穿电压若干伏，当某一个APD单元接收到一个光子时，所产生的光生载流子将有一定概率触发雪崩击穿，雪崩击穿后的光电转换增益可达10⁵~10⁷。由于每一个APD单元具有完全相同的结构和淬灭电阻， 因此在发生雪崩时，雪崩放电的增益，即输出信号的幅度均相同。 当光强不太强时，MPPC总的输出信号幅度正比于同时发生雪崩击穿的APD 单元的数目，因此在示波器上可以看到雪崩脉冲有清晰的倍数层次关系。 由于这种器件可以像光电倍增管一样进行单光子探测，所以也被称作硅光电倍增器(Silicon Photomultiplier,SiPM)。

MPPC具有目前最优异的光子数分辨能力，没有像线性模式APD那样大的增益起伏或过噪声，具有远超光电倍增管(PMT)的单光子分辨本领^[1]，结实耐用，体积小、易于集成，工作电压低，不受磁场干扰，可靠性好、成本低廉等诸多优点，在高能物理^[2]、天体物理^[3]、核医学成像^[4]以及生命科学^[5]等弱光信号探测领域^[6,7]的部分场合已经成为传统光电倍增管的替代品 ,在量子通讯^[8]、单光子源的表征^[9,10]等方面也有非常重要的应用前景。

然而，虽然MPPC已得到了较多的应用，其动态范围和光子探测效率(Photon detection efficiency，PDE)始终是一对矛盾。MPPC的动态范围是指同一时刻能够探测的光子数的多少，它和MPPC的单元数密度成正比，动态范围越大，MPPC的单元数密度就越高，单元之间的间隔(或叫死区，dead area)所占的比例就越高，MPPC的PDE就越小；反之，动态范围越小，MPPC的单元数密度就越低，单元之间的间隔(死区)所占的比例就越小，MPPC的PDE就越大。在实际应用中，只能根据需求来折中选择动态范围和PDE。2010年，作者报道的体电阻淬灭结构的MPPC虽然在一定程度上缓解了这一矛盾，但是由于单元之间不可避免存在死区 ，为了保证单元之间电学隔离， 也必须有一定间隔，从而限制了光敏区所占的比例(即几何填充因子)。 因此，当MPPC的动态范围大，也就是高的单元密度情形下，仅仅依靠增加几何填充因子来提高PDE的方法受到限制。倘若有提高PDE的其他方法，将会缓解这一瓶颈。 在现有文献中， 光学串话(Optical Crosstalk,OC)效应被认为是一种寄生效应，是被研究者尽量避免的^[1]， 因此如何减小MPPC的OC效应成为一个研究目标。 这是很多应用场合不可或缺的，例如需要准确得知入射光子数的统计分布信息以及成像等情况。然而，在关心MPPC输出信号幅度或者电荷量的应用场合， OC的存在反而会增加MPPC的等效PDE，这对MPPC探测光子是有利的， 因此无需采取措施降低MPPC的光学串话率，也就无需做光学串话隔离槽等结构， 单元之间间隔可以做的更小， 单元密度更高，在保持MPPC高密度，即高动态范围的情况下，利用OC效应反而可以提高MPPC的PDE。 基于这一观点，本文提出利用MPPC的OC效应提高MPPC的探测效率的模型，从理论上分析了OC效应对PDE的影响。

该递推关系既考虑了OC，又考虑了MPPC雪崩单元数的饱和效应以及光学串话MPPC单元数饱和效应的相互影响。从理论上来说，该模型更加精确，然而该式无法推出解析式，需要通过数值运算来计算出f(n)与n的关系，从而计算出等效光子探测效率(PDE)。

为了比较未考虑OC效应的式(4)和考虑了OC效应的式(12)以及同时考虑OC效应和饱和效应及其相互影响的式(14)所得PDE的大小，将3个式中的参数取相同的数值，取M=1 600，η=30%，μ=10，研究p_ct取不同值时，3个式所得探测效率的差别。图1为3种模型下光子探测效率随p_ct变化的函数关系曲线。图中方形点连成的线为不考虑OC效应，只考虑信号饱和效应时(传统模型)，光子探测效率随光学串话概率的变化曲线；圆形点连成的线为孤立地考虑OC效应和饱和效应时，PDE随p_ct的变化曲线；三角形点连成的线为同时考虑到OC效应和饱和效应的相互影响时，PDE随p_ct的变化曲线。由图可以看出，随着p_ct的增加，第1种模型(传统模型)得出的PDE不发生变化，后两种模型得出的PDE均单调增加。在p_ct=0.5时，后两种模型得出的PDE比第一种模型(传统模型)高出约50%，说明OC效应使得MPPC的等效光子探测效率显著增加。从图中还可以看出，后两种模型得出的PDE几乎完全相同。说明在入射光子数不多时(~每个脉冲10个光子)，可以忽略OC效应和饱和效应的相互影响，第2种模型(式(12))已足够精确。在实际应用中可以利用式(12)简便地进行MPPC的参数表征，避免了利用第3种模型繁琐的数值计算。

图  1  3种模型下光子探测效率随p_ct变化的函数关系曲线。图为取M=1 600，η=30%，μ=10所得的曲线

Figure 1.  Dependence of the photon detection efficiency(PDE) on optical crosstalk probability(p_ct) of three models. Here we choose M=1 600， η=30%， μ=10

图  2  3种模型下PDE与入射光子数的关系

Figure 2.  PDE versus incident photon number of three models

需要注意的是，模型2并不仅是PDE的表征计算式，重要的是反映了在以MPPC输出信号幅度或者电荷量为光子计数参量的情况下，由于OC效应的存在，客观上确实提高了MPPC的PDE。这种光子计数模式在高能物理中和天体物理中闪烁体的荧光探测、随机光探测等场合具有较重要作用 ^[12-13]。在这些应用场合，依靠MPPC输出雪崩信号的幅度或总电荷量进行后续的信号分析， 这时MPPC的OC效应并不会有害于信号处理，反而增加了实际的光子探测效率，这对于实际应用是有利的。

本文提出了电荷积分光子计数模式下，3种光子探测效率的模型。第1种模型未考虑光学串话效应；第2种模型孤立地考虑了光学串话效应和MPPC的雪崩信号饱和效应；第3种模型还考虑到了这两种效应的相互影响。理论模型的数值计算结果显示，关注MPPC输出信号幅度或电荷量的应用时，利用OC效应能显著提高MPPC的光子探测效率。在入射单脉冲光子数较小的情况下，可以忽略这两种效应的相互影响，第2种模型已足够精确。该结果对MPPC在闪烁体的荧光探测等弱光探测领域的应用有一定意义。