1.   引　言

角膜是人眼最前面的透明部分，人眼大部分的屈光力由其提供。通过角膜曲率检测可以判断人眼有无杂散光，也可以指导角膜屈光度矫正手术以及为佩戴隐形眼镜提供科学验配依据等^[1-2]。因此，精确测量人眼的角膜曲率是非常必要的。最早的角膜曲率测量装置是1856年由Helmhotlz设计的，它是一种基于目视手动调焦原理的传统刻度结果显示的仪器^[3]。这种仪器结构简单，由人眼进行光学对准，对准精度依赖操作经验，测量速度慢。20世纪90年代，日本Topcon公司和Nidek公司相继研制出了光机电式角膜曲率测量装置，能够快速测出人眼角膜曲率。这种光机电式角膜曲率测量装置根据成像CCD上同心圆环的大小、光学成像系统的放大率、同心圆环的实际大小以及同心圆环到人眼角膜顶点的距离就能通过反射原理计算出角膜曲率的大小^[4]。上述测量仪器测量时很容易实现人眼角膜的水平$x$方向和垂直$y$方向的对准，但在沿光轴的z方向，由于受光学成像物镜景深的限制，因而很难实现高精度的z向对焦，会引起角膜顶点到测量光源距离的微小变化和CCD上测量圆环像大小的微小变化，从而使得计算出的角膜曲率半径值不够精确。

针对上述情况，在光机电式角膜曲率测量装置的基础上研究了一种高精度成像角膜曲率测量系统，光学成像物镜采用双远心镜头，放大率在一定景深范围内恒定不变，从而保证CCD上测量光源像的大小不会受镜头景深的影响^[5-6]。同时，在对焦完成后，利用低相干干涉测量技术测量角膜顶点到测量光源的距离^[7-8]，以提高角膜曲率半径的测量精度。

2.   成像角膜曲率测量原理与误差分析

2.1   成像角膜曲率测量原理

角膜是非球面的，但中间表面可以看作是一个凸面镜，角膜曲率半径测量就是利用这一特点。角膜曲率半径的测量原理图如图1所示^[9-10]。

图  1  角膜曲率半径测量原理图

Figure  1.  Measurement principle of corneal curvature radius

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图1中，$AB$的高度为$h$，从$A$发出两束光，一束射向角膜曲率中心 $C$，经角膜反射后原路返回，一束射向角膜主焦点$F'$经角膜反射后平行于光轴出射，两反射光线的交点$A'$为$A$的像。根据几何关系可知：

$A'$经光学成像物镜DE投影后成像在CCD上，在CCD上像点A''的高度为${h_0}$，则光学系统的放大率$\beta $为：

由物像位置关系可知：

当$b$>>$r$时，可得：

式中$r$为角膜曲率半径，$\;\beta $为光学系统的放大率，$b$为角膜顶点到AB的距离，${h_0}$为CCD上像的大小。

2.2   误差分析

由式（4）可知，影响角膜曲率测量精度的有角膜顶点到测量光源的轴向距离$b$、CCD上像的大小${h_0}$、成像物镜的垂轴放大率$\;\beta $和测量光源到光轴的距离$h$。

对${h_0}$产生误差的因素主要有角膜中心的对准和CCD的图像处理，在如今的角膜曲率计中这些误差已经控制到测量精度要求内。$h$是一个固定值，测量时一般会用一个标准眼来校准这个值。而$b$和$\beta $的大小受光学系统景深的影响。$b$的大小是物距$L$减去测量光源到成像物镜的距离，在几何光学中，光学系统的横向放大率$\beta $可以由下式表示。

式中$L'$为像距，$L$为物距。在一种现有的角膜曲率计中，$\beta $=−0.45、$h$=20 mm，物距是100 mm，测量光源到成像物镜的距离是30 mm，则不同景深对应的$b$和$\beta $值如表1所示（前景深为负，后景深为正）。

表  1  景深对应的$b$和$\beta $值

Table  1.  The $b$ and $\beta $ values corresponding to different depthes of field

景深/mm	$b$/mm	$\beta $/mm
−3	67	−0.464
−2	68	−0.459
−1	69	−0.456
0	70	−0.450
1	71	−0.446
2	72	−0.441
3	73	−0.437

下载: 导出CSV 

| 显示表格

标定的$b$值和$\,\beta $值分别是70 mm和−0.45，当景深为零时测量的${r_0}$值是理想值，设不同景深对应的测量值为${r_i}$，则角膜曲率半径的测量误差$\Delta r = $${r_i} - {r_0} $。角膜曲率半径的测量误差标准是±0.02 mm，由公式(3)可知，假设${h_0}$=0.5 mm，不同景深下，角膜曲率的测量误差如图2所示。

图  2  误差分析图

Figure  2.  Error analysis chart

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图2可知，当成像物镜的景深在−0.137~0.111 mm之间时，测量结果才能满足测量要求。因此，采用传统的图像清晰度方法很难实现角膜曲率的高精度测量。

3.   高精度角膜曲率半径测量系统

高精度角膜曲率半径测量系统的测量原理如图3所示，系统包括成像系统和干涉测量系统。成像系统中测量光源发出的光投射到人眼角膜前表面，反射后经成像物镜成像在CCD上。

图  3  高精度角膜曲率半径测量系统原理图

Figure  3.  Schematic diagram of measurement system for high precision corneal curvature radius

下载: 全尺寸图片 幻灯片

干涉测量系统中，激光光源发出的光经过光纤耦合器后分成两束：一束光通过分光镜进入成像系统中，经过测量光源中心的半反半透镜和人眼角膜中心反射后原路返回；另一束光经过光学扫描延迟线原路返回，并与角膜顶点和测量光源中心反射回来的光发生干涉，利用光栅尺记录两次干涉时扫描反射镜的位置，就能精确得到角膜顶点到测量光源的距离。通过CCD上像的大小、测量光源的实际高度、成像物镜的放大率和角膜顶点到测量光源的距离就能计算出角膜曲率半径值。

3.1   成像系统

成像系统包括测量光源、人眼角膜、成像物镜和CCD。利用红外LED灯均匀照射如图4所示的靶环装置，形成测量光源，接着投射到人眼，若人眼是正常眼或单纯的近视眼及远视眼，则在CCD上会形成清晰的同心圆环，若是散光眼，则形成清晰的同心椭圆。

图  4  靶环装置

Figure  4.  Target ring device

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.1.1   靶环装置参数计算

需要计算的靶环装置参数主要是靶环上光阑的高度以及靶环到角膜顶点的最优距离。图5为靶环装置成像原理图。

图  5  靶环装置成像原理图

Figure  5.  Schematic diagram of imaging principle of target ring device

下载: 全尺寸图片 幻灯片

设靶环上光阑$AB$的高度为h，光阑像高$A'B'$为$h'$，靶环到角膜顶点的距离为b，角膜曲率半径为r，根据角膜曲率测量原理可得：

角膜曲率半径的测量范围是 5.5~11 mm，角膜曲率的计算是在角膜中心大约4 mm区域内进行的，靶环投影在角膜表面的像高不能大于 2 mm。因此，可以得出下列关系式：

人眼的平均角膜曲率为 8 mm，根据公式（6）将靶环到角膜顶点的最优距离设计成32 mm，相应的光阑高度为20 mm。当角膜曲率半径为11 mm时，h≤15.6 mm，当角膜曲率半径为5.5 mm时，h≤27.27 mm。在满足条件的情况下，角膜曲率半径越大，对应的光阑高度就越小。因此，为保证角膜曲率的测量范围，设计高度分别为15 mm和20 mm的两组光阑。

3.1.2   靶环装置

整个靶环装置如图6所示，用反光罩和光阑将光源封装在内部，同时，根据积分球漫反射原理，在反光罩内部和光阑的内表面镀上漫反射材料，有利于确保光强均匀分布，反光罩和光阑的制作材料都是不透光的。用LED光源照射光阑，从而形成靶环。

图  6  靶环装置组成图

Figure  6.  Composition diagram of target ring device

下载: 全尺寸图片 幻灯片

利用光学仿真软件TracePro对靶环装置进行仿真，将LED发光面模拟成光源面，每个 LED的光照度模拟为使用的正常范围，且发散角为120°，并将反光罩的内部和光阑的背面均模拟成漫反射面。在靶环装置的前面32 mm处模拟一个直径为30 mm的圆面，作为光源接收面，充当人眼。靶环装置的仿真结果如图7所示，光线由光源发出，在反光罩内部和光阑的背面漫反射后从光阑的两组环形圆孔出射后照射接收面。

图  7  靶环装置光源仿真图

Figure  7.  Simulation diagram of light source for target ring device

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图8（彩图见期刊电子版）给出了接收面的辐照度分布图。左边为辐照度的等高线图，颜色越浅，表明辐照度越大，由图8可看出，整个接收面上辐照度的分布比较均匀。右边为接收面中间剖面的辐照度变化图，蓝色线表示水平方向的辐照度，绿色线表示竖直方向的辐照度，辐照度为旋转对称分布，因此中间剖面每一点处水平方向的辐照度和竖直方向的辐照度基本一样，并且最大辐照度小于230 W/m，根据IEC60825-1可知，基本不会对人眼造成伤害。综上所述，由靶环装置投射出来到人眼的光不会损伤人眼，且光源是均匀分布的，使CCD接收面得到的图像更易于处理与分析。

图  8  模拟面的辐照度

Figure  8.  Irradiances of the simulated surface

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.2   成像物镜

成像物镜采用双远心镜头，图9为双远心物镜的成像原理图。双远心镜头的景深很大，并且双远心镜头在景深范围内放大率保持恒定，从而保证了CCD上像的大小不会受景深的影响。

图  9  双远心镜头成像原理图

Figure  9.  Imaging principle of double telecentric lens

下载: 全尺寸图片 幻灯片

所用双远心镜头的参数如表2所示。为了使测量数据具有可比性，所选用的双远心镜头的物距和放大率同上述现有角膜曲率计中的成像物镜的物距和放大率一样。

表  2  双远心镜头参数

Table  2.  Double telecentric lens parameters

参数	数值
物距/mm	100
前景深/mm	4.68
后景深/mm	5.47
放大率	–0.45

下载: 导出CSV 

| 显示表格

在双远心镜头的景深范围内，放大率和物距的关系如表3所示。由表3可以看出，双远心镜头的放大率的稳定性非常好，在景深范围内几乎保持不变，这有助于减小测量误差。

表  3  不同物距的放大率

Table  3.  Magnifications corresponding to different object distances

物距/mm	放大率
97	−0.450 19
98	−0.450 15
99	−0.450 12
100	−0.450 00
101	−0.449 92
102	−0.449 86
103	−0.449 82
104	−0.449 78

下载: 导出CSV 

| 显示表格

3.3   干涉测量系统

图10为干涉测量系统的原理图，为了实现测量光源到角膜顶点距离的测量，在测量光源处放一个半透半反镜。干涉系统采用迈克尔逊干涉仪，光线经反射镜后原路返回，所以扫描延迟线的扫描距离比角膜顶点到测量靶环距离的两倍还大。

图  10  干涉测量系统

Figure  10.  Interferometry measurement system

下载: 全尺寸图片 幻灯片

为提高测量精度、缩小干涉长度，测量光源采用中心波长为850 nm、光谱宽度为30 nm的宽带光源。宽带光源发出的低相干光经过光纤耦合器后分成两束：一束为测量光，经光纤准直器后进入测量臂，测量光分别在半反半透镜和人眼角膜顶点产生反射，反射光再经准直器回到光纤耦合器中；另一束为参考光，经光纤准直器后进入参考臂，经扫描反射镜反射后原路返回。测量臂中由两次反射表面反射回来的光具有不同的光程，参考臂中反射光的光程随着扫描反射镜位置的改变而不断变化，当参考反射光与测量臂中某一反射面反射光的光程差满足干涉条件时，会产生干涉信号。当光程差为零时，干涉信号达到极大值，由探测器接收并处理。为了精确获得扫描反射镜的移动距离，利用高精度可读数光栅尺监测扫描反射镜的位置，当出现干涉信号的极大值时，通过光栅尺和信号处理技术记录扫描反射镜的位置，根据产生两次干涉信号极大值时反射镜的位置，就能确定角膜顶点到测量靶环的距离，如图11所示。

图  11  干涉图

Figure  11.  Interferogram

下载: 全尺寸图片 幻灯片

4.   误差分析

由上述分析可知，在高精度角膜曲率测量系统中，影响角膜曲率半径测量的有干涉仪的定位精度和成像物镜的放大率稳定性。干涉的定位精度直接影响到角膜顶点到测量光源的距离$b$，所用光源的干涉长度为100 μm，则干涉的定位精度是±50 μm，角膜顶点和测量光源距离的两次干涉定位精度为±100 μm，即$b$的测量误差为±100 μm。放大率的大小与景深有关，因此分析了当$b$的误差分别为100 μm和−100 μm时，不同景深对测量造成的误差（前景深为负，后景深为正），如图12和图13所示（为保证结结果的可比性，假设$h$值和${h_0}$值分别为20 mm和0.5 mm）。

图  12  $b$为100 μm时角膜曲率半径的误差

Figure  12.  The error of corneal curvature radius when $b$ is 100 μm

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  13  $b$为−100 μm时角膜曲率半径的误差

Figure  13.  The error of corneal curvature radius when $b$ is −100 μm

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图12、图13可以看出，当$b$的误差取最大值，景深从−4 mm变化到5 mm时，高精度角膜曲率测量的理论总误差符合测量标准。由此可知，成像物镜采用双远心镜头时放大率的稳定性和低相干干涉测量出的角膜顶点到测量光源的距离的精度均满足角膜曲率的测量要求。

在上述的理论基础上做出了实验样机，如图14所示。由于人眼中心区域的角膜曲率半径不同，故测量的同心圆灯组经人眼反射后在CCD上成的像不再是一个标准的同心圆，而是近似为一个椭圆。图15是对CCD上获取的图像的处理结果，15（a）为直接获取的图像，15（b）为二值化处理图像，15（c）为Sobel边缘检测图像。这样便可通过提取图像中关键区域的白点，再用最小二乘曲线拟合计算椭圆长轴${h_{0\max }}$和短轴${h_{0\min }}$大小^[11]，即可求出相对应的角膜曲率的最小值${r_{\min }}$和最大值${r_{\max }}$。

图  14  实验样机

Figure  14.  Experimental prototype

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  15  图像处理结果

Figure  15.  Image processing results

下载: 全尺寸图片 幻灯片

在二维平面上，椭圆方程可以表示为：

即6个点就能确定一个椭圆，但实际上由于人眼表面的曲率不是规则性的，不能直接用6个点求出椭圆的大小，本文采用了基于最小二乘法的椭圆拟合方法。最小二乘法的曲线拟合是使测量误差的平方和最小，即对于目标函数：

使：

成立，由此可得到一个线性方程组。根据图像中得到的点，应用求解方程组的算法即可求出系数的大小，从而可根据椭圆定义求出椭圆长轴、短轴和轴位角的大小，进而就能算出角膜中心处曲率半径的最大值${r_{\max }}$和最小值${r_{\min }}$。根据公式（11）就可算出曲率半径所对应的屈光度的值（其中n为人眼的折射率，一般取1.337 5）。

样机能对角膜曲率半径、角膜屈光度进行测量，通过编制程序即可完成转换。用样机对标准模拟眼进行测量，对3种不同的标准眼重复测量3次，测量结果如表4所示。测量结果使用图像处理拟合椭圆方法计算得到，所以角膜曲率测量时计算的是最大值和最小值。从表4可以看出：系统的测量精度在0.02 mm以内，说明成像物镜放大率的稳定性非常好，同时低相干干涉测量精度也非常高；重复性在0.03 mm以内，说明测量结果不受景深的影响。

表  4  实验结果

Table  4.  Experimental results

标准值	测量值/mm		误差/mm		标准值	测量值/mm		误差/mm
6.656	${r_{\max }}$	6.675	﹢0.019		7.988	${r_{\max}}$	7.997	0.009
	${r_{\min }}$	6.641	−0.015			${r_{\min}}$	7.975	−0.013
6.656	${r_{\max}}$	6.673	+0.017		9.458	${r_{\max}}$	9.466	+0.008
	${r_{\min }}$	6.637	−0.019			${r_{\min }}$	9.443	−0.015
6.656	${r_{\max}}$	6.669	+0.013		9.458	${r_{\max}}$	9.473	+0.015
	${r_{\min }}$	6.647	+0.011			${r_{\min }}$	9.455	−0.003
7.988	${r_{\max}}$	7.999	+0.011		9.458	${r_{\max}}$	9.477	+0.019
	${r_{\min }}$	7.974	−0.014			${r_{\min }}$	9.459	+0.001
7.988	${r_{\max}}$	7.998	+0.010
	${r_{\min }}$	7.980	−0.008

下载: 导出CSV 

| 显示表格

5.   结　论

本文在传统角膜曲率计的基础上，提出一种高精度角膜曲率测量系统，其成像物镜采用双远心光路镜头，以使放大率在景深范围内保持恒定，从而降低了由于CCD上所成像大小的微小变化对测量结果的影响。利用一种低相干干涉测量技术测量出角膜顶点到测量光源的距离，距离测量精度达到±100 μm，相比于通过成像清晰度法判断角膜顶点到测量光源的距离，这种方法大大提高了角膜曲率半径系统的测量精度，同时由于成像物镜采用的是双远心镜头，也避免了无法利用成像清晰度法判断角膜顶点到测量光源距离的缺陷。用实验样机对标准眼进行测试，测量结果表明，高精度角膜曲率测量系统对角膜曲率测量的精度满足测量要求，系统测量精度达到±0.02 mm。