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角度精密测量是几何量计量检测的重要组成部分，在光学元件加工与检测、微电子制造、精密加工与装配、航空航天设备瞄准与定位等领域均有广泛应用[1-8]。随着这些领域的进一步发展，对测角精度的需求达到0.1″甚至0.01″级别[1-3]。实现更高的测角精度对于上述应用具有重要意义。
光电自准直仪是目前实现高精度测角的主要技术手段，它基于光学自准直原理，具有非接触、精度高、使用方便等优点。德国Moller Wedel公司生产的 ELCOMAT HR 型自准直仪的分辨力达到0.001″，测量精度达到0.01″，是目前国际上自准直仪的最高水平[9, 10]。
当下，自准直测角技术正在朝更高测角精度、更高稳定性的方向不断发展[11]。影响光电自准直仪测角精度的误差源众多，完善自准直仪的误差模型对提高其测角精度具有重要意义。赵玉平[12]、欧同庚[13]、张冬[14]等人针对入射光发散角、透镜像差、准直物镜倾斜、反射镜平面度误差等自准直仪误差源进行了分析。光电探测器失调作为一种常见的自准直仪误差源，目前只考虑了光电探测器的离焦误差和倾斜误差，且假定它们独自出现[1, 12-14]。光电探测器单个失调参数与自准直仪测角误差之间存在明确而简洁的函数关系[12]。事实上，光电探测器相对于自准直仪理论像面可能处于空间任意位置和朝向，探测器各种失调误差会共同作用并影响自准直仪测角精度。然而，当光电探测器各个失调参数共同存在时，失调参数与自准直仪测角误差之间的函数关系将变得十分复杂。因此，迫切需要构建更加完善的自准直仪失调误差模型，进而全面地分析光电探测器失调对于自准直仪测角的影响。
本文首次提出并构建了自准直仪光电探测器失调数学模型。基于该模型，系统地分析了包括探测器阵面平移、离焦以及倾斜等在内的所有探测器失调误差共同作用时对自准直仪测角的影响。此外，在同等条件下计算了自准直仪测角误差对各种探测器失调误差的敏感性。这对于构建更加完善的自准直仪误差模型，进一步提高自准直仪测角精度具有重要的指导作用。
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光电自准直仪的基本原理如图1所示。点光源与像面关于分光镜共轭，均处于准直物镜的焦平面。点光源发出光线经过准直物镜后平行出射，然后从被测镜面返回。若被测镜面与自准直仪光轴垂直，光线反射后成像于像面的中心点O。若被测镜面相对于自准直仪光轴倾斜角度
$\alpha $ ，经被测镜面的反射光由准直物镜汇聚于A。通过光电探测器测量点O与点A之间的线长${l_{OA}}$ ，可得被测镜面的倾斜角度$\alpha $ 为
图 1 自准直仪原理图
Figure 1. Basic principle of autocollimators
$$\alpha = \frac{1}{2}\arctan \left( {\frac{{{l_{OA}}}}{f}} \right)$$ (1) 其中
$f$ 是准直物镜的焦距。显然，通过计算像点（点A）在像面相对于参考像点（点O）移动的距离，结合准直物镜焦距，即可得到被测镜面变化的角度。根据自准直仪的测角原理可知，精确地测得像点在像面相对于参考像点的间距是保证自准直仪实现高精度角度测量的关键。CCD因具备高位置分辨率、高响应速度、高稳定性等优势，成为目前最常用的自准直仪光电探测器。因此，若无特殊说明，在后文中用CCD阵面代指自准直仪光电探测器。
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理想情况下，CCD阵面的法线与自准直仪光轴平行，CCD阵面的中心与准直物镜的焦点重合。然而，在自准直仪实际装调过程中，安装误差可能导致CCD阵面相对理论像面存在三维旋转和三维平移。为完整而真实地表征CCD阵面失调误差对自准直仪测角的影响，需构建相应的数学模型，定量计算因CCD阵面失调导致的自准直仪测角误差。
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自准直仪基本光路如图2所示，分别由自准直仪像面、准直物镜和待测镜面组成。以理论像面位置（无安装误差时CCD阵面应处于的位置）几何中心为原点，像面法线为Y轴，像素排列方向依次为X轴和Z轴，建立符合右手法则的直角坐标系
${O_1} - XYZ$ ，如图2所示。因安装误差，导致CCD阵面中心A与坐标系${O_1} - XYZ$ 的原点不重合，两者之间存在三维位移矢量O1A1；CCD阵面的法线与坐标系的Y轴存在空间夹角。
图 2 CCD阵面失调的自准直仪光路
Figure 2. Optical path of autocollimator with a misaligned CCD
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如图2所示，CCD阵面相对于理论像面的所有可能偏差均可由以下操作完成：先将理论像面依次绕X轴、Y轴和Z轴分别旋转角度
$\alpha $ ，$\beta $ 和$\gamma $ ，再沿空间矢量O1A1平移。绕X轴的旋转矩阵为$${R_x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0\\ 0&{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0\\ 0&{ - \sin \alpha }&{{\kern 1pt} \cos \alpha }&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]$$ (2) 绕Y轴的旋转矩阵为
$${R_y} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \beta }&0&{ - \sin \beta }&0\\ 0&1&0&0\\ {\sin \beta }&0&{{\kern 1pt} \cos \beta }&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]$$ (3) 绕Z轴旋转的旋转矩阵为
$${R_z} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \gamma }&{\sin \gamma }&0&0\\ { - \sin \gamma }&{\cos \gamma }&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]$$ (4) CCD阵面的平移矢量为
$$\mathop {{O_1}{A_1}}\limits^ \to = \left[ {a b c} \right]$$ (5) 依据式（2）–式（5），可以计算得到CCD阵面在
${O_1} - XYZ$ 坐标系中的平面方程为$$ \begin{aligned} & \cos \beta \sin \alpha \left( {c - Z} \right) - \left[ {\cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma } \right]\\ & \left( {b - Y} \right) - \left[ {\cos \alpha \sin \gamma + \cos \gamma \sin \alpha \sin \beta } \right]\left( {a - X} \right) = 0 \end{aligned} $$ (6) -
用自准直仪对准一个待测镜面，该镜面法线与自准直仪光轴之间存在夹角，反射光束经过准直物镜后在理论像面汇聚于点B2。然而，因CCD失调，使得反射光束在CCD阵面上形成一个弥散斑。通常情况下，自准直仪的图像识别算法会将弥散斑的中心作为当前像点，而弥散斑中心由自准直仪主光线O2O3决定。该光线经待测镜面反射后变为O3C，并汇聚于理论像面B2。因此，光线O3CB2与CCD阵面的交点B1就是弥散斑的中心，也是CCD阵面实际输出的像点。
由图2所示几何关系和光路结构，可以由理论像面像点B2的坐标，计算出存在安装误差时CCD阵面实测像点B1的坐标。B2点位于理论像面，即图2中的XZ平面，假设已知其坐标为
$\left( {{x_0}, 0, {z_0}} \right)$ ，可得直线O2B2的方向矢量为$\left( {{x_0},\;- f,\; {z_0}} \right)$ ，其中$f$ 为准直物镜的焦距。自准直仪主光线O2O3经待测镜面后变为光线O3C，其中O3点坐标为$\left( {0,\;f + L,\;0} \right)$ ，$L$ 为待测镜面到自准直仪准直物镜主面的间距。根据几何光学基本原理，O3C的方向矢量与O2B2平行，可得C点坐标为$\left( {\dfrac{L}{f}{x_0},\;f, \;\dfrac{L}{f}{z_0}} \right)$ 。因此，直线CB2的方程为$$\frac{{X - {x_0}}}{{\left( {\dfrac{L}{f} - 1} \right){x_0}}} = \dfrac{Y}{f} = \dfrac{{Z - {z_0}}}{{\left( {\dfrac{L}{f} - 1} \right){z_0}}}$$ (7) 联立式（6）和式（7），即可得CCD阵面上实测像点B1的坐标。
综上，可以由无安装误差时光电探测器本该输出的像点坐标，计算出存在安装误差时自准直仪实际获取的像点坐标。
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在测角之前，通常需先将自准直仪归零：通过调整自准直仪或者参考反射镜，使得光束返回的十字叉丝与CCD阵面的十字叉丝重合，以此状态作为零位（绝对零位或者相对零位）。需要指出的是，该零位是由CCD阵面的中心像元决定的。显然，如果CCD阵面自身出现安装误差，那么该零位状态将与自准直仪理论像面不重合。
如图2所示，若CCD阵面不存在安装误差，待测镜面处于朝向1时自准直仪归零。若CCD阵面存在安装误差，设其中心像元为A1，需要将参考镜面调整至朝向2，此时反射光中心光线O3D恰好与CCD阵面相交于中心像元A1，并与理论像面交于A2。需要特别指出的是，在自准直仪实际使用过程中，也可以以CCD阵面的任意像元（不局限于中心像元）作为参考基准，完成相对测量。这不会对本文构建的数学模型造成影响。
自准直仪归零后，可以开始测角。若待测镜面为朝向3，如图2所示，其与参考镜面朝向2的夹角为
$\theta $ 。反射光的中心光线O3C在CCD阵面形成的弥散斑中心点为B1，在理论像面的汇聚点为B2。根据式（1），自准直仪实际测得的夹角由CCD阵面上的A1B1线长${l_{{A_1}{B_1}}}$ 以及准直物镜焦距f决定，即$$\theta ' = \frac{1}{2}\arctan \left( {\frac{{{l_{{A_1}{B_1}}}}}{f}} \right)$$ (8) 显然，
$\Delta \theta = \theta - \theta '$ 就是因CCD阵面安装误差导致的自准直仪测角误差。自准直仪实测角度
$\theta '$ 可由CCD阵面上的像点（图2中A1和B1）长度计算得到，而真实角度$\theta $ 则由理论像面的像点（图2中A2和B2）长度决定。因此，有必要由已知的CCD阵面像点坐标计算出无安装误差时本该得到的像点坐标。下面以图2中CCD阵面像点B1
$\left( {{x_{{B_1}}},\;{y_{{B_1}}},\;{z_{{B_1}}}} \right)$ 为例，推导出其对应的理论像面B2点的坐标。因B2点在O1XZ平面上，故设其坐标为$\left( {{x_{{B_2}}}, 0, {z_{{B_2}}}} \right)$ 。B2点对应的主光线O2O3经待测镜面反射后与准直物镜交于点C，其坐标为$\left( {\dfrac{L}{f}{x_{{B_2}}}, f, \dfrac{L}{f}{z_{{B_2}}}} \right)$ 。因点C，B1与B2在同一直线上，可以得到点B1坐标与点B2坐标之间的函数关系为$$\left\{ \begin{gathered} {x_{{B_2}}} = \frac{{{x_{{B_1}}}{f^2}}}{{{y_{{B_1}}}\left( {L - f} \right) + {f^2}}} \\ {z_{{B_2}}} = \frac{{{z_{{B_1}}}{f^2}}}{{{y_{{B_1}}}\left( {L - f} \right) + {f^2}}} \\ \end{gathered} \right.$$ (9) 式（9）建立了由实际CCD阵面上任一像点B1的坐标，计算出无探测器安装误差时，本应在理论像面汇聚像点B2的坐标。
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前面计算了自准直仪理论像面与失调CCD阵面之间的空间坐标关系，在此基础上可建立CCD失调与自准直仪测角误差之间的定量关系，具体流程如图3所示。
图 3 自准直仪CCD阵面失调建模流程图
Figure 3. Flowchart of modeling CCD misalignment in autocollimators
如图2所示，若自准直仪以待测镜面朝向2作为参考基准，此时反射光在CCD阵面形成的像点为A1，其坐标为
$\left( {{x_{{A_1}}},\;{y_{{A_1}}},\;{z_{{A_1}}}} \right)$ ，满足式（6）所示的平面方程。A1对应的理论像面的像点为A2，其坐标可根据式（9）由像点A1的坐标得到。待测镜面由朝向2旋转至朝向3，此时反射光在CCD阵面形成的像点为B1，其坐标为$\left( {{x_{{B_1}}}, \;{y_{{B_1}}}, \;{z_{{B_1}}}} \right)$ 。对应的理论像面像点为B2，其坐标同样可根据式（9）由像点B1的坐标计算得到。根据理论像面像点A2和B2的坐标，结合准直物镜中心点O2的坐标，可以得到
$$\cos \left( {2\theta } \right) = \frac{{\mathop {{O_2}{A_2} \cdot }\limits^ \to \mathop {{O_2}{B_2}}\limits^ \to }}{{\left| {\mathop {{O_2}{A_2}}\limits^ \to } \right| \cdot \left| {\mathop {{O_2}{B_2}}\limits^ \to } \right|}}$$ (10) 其中
$\theta $ 为真实待测角度。自准直仪测得的角度$\theta '$ 可由CCD阵面上像点A1和B1的坐标，并结合式（8）得到。综上，结合式（6）、（9）、（8）和（10）可得因自准直仪光电探测器失调导致的测角误差$\Delta \theta $ 为$$\Delta \theta = \Delta \theta \left( {a,\; b,\;c,\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\; f,\; L,\;\theta } \right)$$ (11) -
由以上分析可知，表征CCD阵面失调的参数有：三维平移矢量（a,b,c）以及三维旋转角度
$\alpha $ 、$\,\beta $ 和$\gamma $ 。式（11）构建了自准直仪测角误差与CCD阵面失调之间的函数关系。此外，自准直仪系统参数，即准直物镜焦距$f$ 和待测镜面与准直物镜主面的间距$L$ 也会影响自准直仪的测角误差。在实际情况下，表征CCD阵面失调的6个参数往往会同时出现。为综合评价CCD阵面失调对自准直仪测角的影响，将失调参数：a，b，c，
$\alpha $ ，$\,\beta $ 和$\gamma $ ，在一定范围内取均匀分布，如表1所示，共有${11^6}$ 种组合。根据目前国内外主流光电自准直仪参数，计算了9种不同的焦距$f$ 、距离$L$ 、待测角度$\theta $ 的组合，重复上述${11^6}$ 次计算，结果如图4和表2所示。表 1 CCD阵面失调参数
Table 1. Misalignment parameters of CCD
失调参数 最小值 最大值 取样数 a/mm −0.1 0.1 11 b/mm −0.1 0.1 11 c/mm −0.1 0.1 11 $\alpha $/(″) −360 360 11 $\beta $/(″) −360 360 11 $\gamma $/(″) −360 360 11 表 2 CCD阵面失调导致的测角误差
Table 2. Angular measurement errors induced by a misaligned CCD
$\theta $/(″)
$f$,$L$/mm20 200 2 000 $f$=300,$L$=100 0.004 5 0.046 0.53 $f$=300,$L$=1000 0.016 0.16 1.8 $f$=500,$L$=1000 0.004 1 0.042 0.51 
图 4 自准直仪CCD阵面失调导致的测角误差
Figure 4. Angular measurement errors of autocollimators with a misaligned CCD
图4示出了在不同测量角度
$\theta $ 、物镜焦距$f$ 、测量距离$L$ 条件下，所有自准直仪CCD阵面失调误差共同作用造成的测角误差的统计结果。在各种条件下，测角误差的最大值如表2所示。由分析结果可知，当$\theta $ = 20″，$f = 300$ mm，$L = 100$ mm时，在所有CCD失调误差共同影响下，测角误差最大可达0.0045″。显然，对于要实现0.01″的超高测角精度自准直仪，CCD的失调误差不可忽略。若待测角度增大为$\theta$ = 200″，测角误差最大可达0.046″。从表2的计算结果还可以发现，当待测角度以及CCD失调参数确定时，自准直仪测角误差与成像物镜焦距
$f$ 和测量距离$L$ 有关。为此，设定CCD失调参数a，b，c均为0.1 mm，$\alpha $ ，$\beta $ 和$\gamma $ 均为360″，计算结果如图5所示。显然，CCD失调导致的测角误差随成像物镜焦距$f$ 增大而减小，随测量距离$L$ 增大而增大。因此，为减小CCD失调误差的影响，自准直仪应该选择长焦距的成像物镜，并尽可能缩短测量距离。
图 5 CCD失调参数一定时，自准直仪测角误差随焦距
$f$ 和测量距离$L$ 的变化关系Figure 5. The measurement errors of autocollimators with different focal length
$f$ and measuring length$L$ induced by certain CCD misalignments.基于上述构建的数学模型，还可以方便地分析每个参数单独出现时造成的测角误差。下面，针对CCD阵面依次出现平移、离焦以及倾斜误差时，计算其对自准直仪测角的影响。参考目前主流商用自准直仪参数，在后面的计算中均设定准直物镜的焦距
$f = 300$ mm，测量距离$L = 100$ mm。 -
如图6所示，理论像面的中心为O1，CCD阵面的中心为A，CCD阵面相对于理论像面出现平移误差。若自准直仪以CCD阵面中心作为参考基准进行归零，需要将参考镜面由朝向1调整至朝向2，此时参考镜面法线与自准直仪光轴的夹角为
$\alpha $ 。
图 6 自准直仪CCD阵面平移误差
Figure 6. Piston error occurs in the CCD of autocollimators
根据前面提出的CCD阵面安装误差数学模型，自准直仪测角误差随CCD阵面平移误差的变化曲线如图7所示。计算了待测角度
$\theta $ 分别为20″，200″以及2000″三种情况下，CCD阵面平移误差在0.001 mm至0.1 mm区间造成的自准直仪测角误差。可以发现，随着待测角度增大，CCD阵面平移误差造成的测角误差迅速增大。当$\theta = 200''$ 时，CCD平移0.1 mm造成的测角误差约为1.5×10−4″。需要指出的是，计算中假定被测镜面到准直物镜的间距为$L = 100$ mm。由表2的计算结果可知，随着$L$ 的增大，CCD阵面平移误差的影响也会随之增大。
图 7 自准直仪测角误差随CCD阵面平移误差的变化曲线
Figure 7. Angular measurement errors in autocollimator induced by CCD piston errors
事实上，即便CCD阵面与理论像面重合，但是如果自准直仪测角时的参考基准没有归零，比如以图6中朝向2作为参考基准，这会对自准直仪造成与CCD阵面平移误差一致的影响。由图7可知，参考像点离像面中心越远，造成的测角误差越大，因此在实际使用自准直仪过程中应该优先以自准直仪CCD阵面中心作为参考基准。
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前面计算了CCD阵面沿自准直仪光轴垂直方向发生平移时对测角精度的影响。CCD阵面还可能沿自准直仪光轴方向发生平移，即CCD阵面出现离焦误差。如图8所示，被测镜面与基准镜面夹角为
$\theta $ 时，自准直仪本该在理论像面成像于点B，线长O1B为$h$ 。因存在离焦误差，导致在CCD阵面成像于点C，实测的线长AC为$h'$ ，显然$h \ne h'$ ，造成测角误差。
图 8 自准直仪CCD阵面出现离焦误差
Figure 8. Defocusing error occurs in CCD of autocollimator
根据前面提出的CCD阵面失调数学模型，自准直仪测角误差随CCD阵面离焦的变化曲线如图9所示。随着待测角度
$\theta $ 增大，CCD阵面离焦误差造成的测角误差迅速增大。当$\theta = 200''$ 时，CCD离焦0.1 mm造成的测角误差约为0.044″，远大于同等条件下CCD阵面平移造成的测角误差。此外，如表2所示，在CCD阵面所有失调误差综合误差作用下，自准直仪测角误差为0.046″。显然，在CCD阵面各种失调误差中，离焦对自准直仪的影响最大。
图 9 自准直仪测角误差随CCD阵面离焦误差的变化曲线
Figure 9. Angular measurement errors in autocollimators induced by a defocusing CCD
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CCD阵面除了出现上述两种平移误差外，还可能相对于自准直仪光轴发生倾斜，如图10所示。若CCD阵面没有倾斜，待测镜面相对于基准镜面倾斜
$\theta $ 时，理论像面的像点线长AB为$h$ ，发生倾斜后CCD阵面的像点线长AC为$h'$ 。
图 10 自准直仪CCD阵面出现倾斜误差
Figure 10. Inclination angle occurs in CCD of autocollimator
根据CCD阵面失调误差数学模型，自准直仪测角误差随CCD阵面倾斜误差的变化曲线如图11所示。随着CCD倾斜角度增大，造成的测角误差迅速增大。当
$\theta = 200''$ 时，CCD倾斜1000″造成的测角误差约为0.0036″。
图 11 自准直仪测角误差随CCD阵面倾斜误差的变化曲线
Figure 11. Angular measurement errors in autocollimator induced by CCD inclination angle
需要特别指出的是，自准直仪CCD单个失调参数与测角误差之间存在明确而简洁的函数关系[12]，依据各自的数学表达式也能够得到上述自准直仪测角误差随CCD单失调参数的变化曲线。然而，当CCD的6个失调参数共同存在时，其与自准直仪测角误差之间的函数关系将变得非常复杂，如式（11）所示。本文所述误差模型根据几何光学以及空间立体几何等原理，定量计算CCD失调对自准直仪测角的影响。因此，该模型的计算过程与单个失调参数基于显函数的计算过程完全不同。
将基于CCD单失调参数引起自准直仪测角误差的显函数表达式与基于本文所述模型计算的CCD单失调参数计算结果进行对比，可以验证该模型的正确性。我们发现，基于提出模型得到的计算结果，如图7，图9和图11所示，与自准直仪测角误差依次随CCD平移、离焦以及倾斜的显函数表达式的计算结果一致，这表明本文构建的自准直仪探测器失调误差数学模型正确。
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因安装误差，自准直仪光电探测器相对于理论像面可能存在三维平移和三维旋转。本文首次提出并构建了自准直仪光电探测器失调数学模型。基于该模型，定量分析了所有探测器失调误差对自准直仪测角的综合影响。结果表明，探测器失调造成的自准直仪测角误差随准直物镜焦距
$f$ 增大而减小，随自准直仪到被测镜面的距离$L$ 以及待测角度$\theta $ 增大而增大。计算发现，当$f$ =300 mm，$L$ =100 mm，$\theta $ =20″时，因探测器失调引起的测角误差达到0.004 5″。显然，对于要实现0.01″的超高测角精度自准直仪，探测器失调误差不可忽略。分析结果表明，自准直仪对探测器离焦最为敏感，提高探测器沿光轴方向的装调精度、优先选择长焦距的成像物镜，并尽可能缩短测量距离，是降低探测器失调对自准直仪影响的关键。根据本文提出的数学模型，可以系统地计算探测器失调对自准直仪测角的影响，进而为构建更加完善的自准直仪误差模型奠定基础。
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摘要: 首次提出并构建了自准直仪光电探测器失调数学模型。基于该模型，计算了光电探测器相对于理论像面处于空间任意位置和朝向时对自准直仪测角的影响。结果表明，探测器失调造成的测角误差随准直物镜焦距f增大而减小，随自准直仪到被测镜面的距离L以及待测角度θ增大而增大。计算发现，当f=300 mm，L=100 mm，θ=20″时，因探测器失调引起的测角误差达到0.004 5″。进一步分析了各种探测器失调误差单独作用时对自准直仪测角的影响，验证了模型的正确性，并发现探测器离焦对自准直仪的影响最大。根据本文计算结果，选择长焦距的成像物镜、减小测量距离、提高光电探测器沿轴安装精度是减小光电探测器失调对自准直仪影响的关键。基于提出的数学模型，可以系统地计算探测器失调对自准直仪测角的影响，进而为构建更加完善的自准直仪误差模型奠定基础。Abstract: As one of the key errors in autocollimators, the mislignment of photodetector is analyzed and modeled carefully in this paper. Effects of a misaligned photodetector, which is in any position and orientation in space with regard to the theoretical image plane of autocollimators, on angle measurements are characterized. It is shown that the angular measurement errors of autocollimators induced by a misaligned photodetector increase with greater measuring range L, larger angle θ being tested and smaller focal length L of the collimating object lens. When f=300 mm, L=100 mm, θ=20″, the angular measurement error caused by a misaligned photodetector is 0.0045″. Effects of each photodetector misalignment error on angle measurements by autocollimators are characterized. The model proposed in this paper is validated. Among all kinds of photodetector misalignment errors, the defocusing error has the greatest influences on autocollimators. Hence, it is critical to choose the imaging objective with longer focal length, reduce the measurement distance, and improve the installation accuracy of photodetector along the axis. The model proposed in this paper helps to systematically obtain the angular measurement errors caused by a misaligned photodetector, which will play a key role in building a better error analysis model for autocollimators.
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Key words:
- autocollimator /
- angular measurement accuracy /
- misaligned photodetector /
- error analysis
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图 3 自准直仪CCD阵面失调建模流程图
Figure 3. Flowchart of modeling CCD misalignment in autocollimators
图 4 自准直仪CCD阵面失调导致的测角误差
Figure 4. Angular measurement errors of autocollimators with a misaligned CCD
图 5 CCD失调参数一定时，自准直仪测角误差随焦距
$f$ 和测量距离$L$ 的变化关系Figure 5. The measurement errors of autocollimators with different focal length
$f$ and measuring length$L$ induced by certain CCD misalignments.
图 7 自准直仪测角误差随CCD阵面平移误差的变化曲线
Figure 7. Angular measurement errors in autocollimator induced by CCD piston errors
图 9 自准直仪测角误差随CCD阵面离焦误差的变化曲线
Figure 9. Angular measurement errors in autocollimators induced by a defocusing CCD
图 11 自准直仪测角误差随CCD阵面倾斜误差的变化曲线
Figure 11. Angular measurement errors in autocollimator induced by CCD inclination angle
表 1 CCD阵面失调参数
Table 1. Misalignment parameters of CCD
失调参数 最小值 最大值 取样数 a/mm −0.1 0.1 11 b/mm −0.1 0.1 11 c/mm −0.1 0.1 11 $\alpha $ /(″)−360 360 11 $\beta $ /(″)−360 360 11 $\gamma $ /(″)−360 360 11 
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表 2 CCD阵面失调导致的测角误差
Table 2. Angular measurement errors induced by a misaligned CCD
$\theta $ /(″)$f$ ,$L$ /mm20 200 2 000 $f$ =300,$L$ =1000.004 5 0.046 0.53 $f$ =300,$L$ =10000.016 0.16 1.8 $f$ =500,$L$ =10000.004 1 0.042 0.51
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