光纤激光器是近几十年来快速发展起来的一种新型光源，在高功率激光输出、光斑质量、有效热管理等方面，其较传统的固态激光器性能更优^[1-4]。随着光纤材料的改进，单晶光纤(Single Crystal Fiber，SCF)作为新型增益介质的单晶光纤激光器性能得到大幅提升。相比于普通的光纤，单晶光纤具有更大的增益直径，更短的长度，从而可使单晶光纤激光器的结构更紧凑。单晶光纤还被广泛应用于制作各类光纤传感器^[5]和光纤放大器^[6]。目前，基于准三能级输出946 nm激光的单晶光纤激光器，其倍频产生的高功率473 nm蓝光激光，在水下通信、高密度光学数据存储、激光制冷、医学诊断等多个领域具有重要应用^[7-12]，而进一步倍频产生的236 nm激光被用于雷达探测^[13]。上述蓝光、紫外波段激光的高度需求，促使研究人员对808 nm激光二极管泵浦基于Nd :YAG ⁴F_3/2-⁴I_9/2跃迁，实现的946 nm基频红光进行深度研究，以期获得高性能基频光源。但是由于受到跃迁能级辐射速率低(仅为808 nm泵浦Nd :YAG四能级输出1 064 nm激光相关辐射速率的1/ 9)、重吸收损耗(在低态⁴I_9/2的热布居0.7%)等因素影响^[12]，采用808 nm泵浦产生的946 nm激光的效率不如1 064 nm激光输出效率。为实现946 nm高功率激光高效输出，需要高掺杂浓度，但是同时伴随着严重的热透镜效应。相反地，较低掺杂浓度虽可保证热效应在一个可控的范围内，但是减小了晶体的吸收，不利于高功率激光的获得。

随着高性能激光需求的日益增加，单晶光纤越来越受到关注。法国国家科学研究院(CNRS)的研究人员，基于掺杂浓度为0.2%，长度为50 mm的单晶光纤，实现了超过30 W的高功率946 nm激光输出^[13]，并对比分析了激光晶体和单晶光纤连续输出946 nm激光的情况下，与泵浦光导致的热效应关联的激光晶体、单晶光纤温度场结果。发现在相同的808 nm泵浦激光条件下，通过有限元方法模拟得到的两者相应的端面温度升高(以下简称温升)分别为51 ℃和19 ℃，揭示了后者具有良好的热管理水平。但是输出激光存在光斑质量较差、空间多模、光束非偏振等问题。为改善光束质量，之后该小组研制了主动调Q的偏振激光器^[14]，并通过倍频方式实现蓝光输出。在此研究过程中，遇到的首要困难便是解决Nd :YAG这种非双折射晶体。由高功率泵浦激光引入的热效应问题。由此可见对单晶光纤的热效应进行研究是十分必要也是重要的工作，而分析与减小激光晶体热效应的关键工作之一是对激光晶体内部温度场及热形变场进行精确计算，为研制单晶光纤激光器提供数据支撑及研究依据。

有限元分析方法^[15]是分析激光热效应的常用手段之一，可对激光器内部符合实际情况的单晶光纤温度场进行模拟。除此之外，还可以采用解析方法对单晶光纤的温度分布进行分析。目前光纤的制作工作已经趋于完善，实际制作的光纤接近于“理想”状态的光纤。因此虽然解析法研究的是“完美”光纤的情况，但是利用该方法得到的结果对实际光纤的分析具有一定研究和参考价值。本文基于解析法求解分析Nd :YAG单晶光纤的热效应导致的温度场分布情况，通过对单晶光纤的热传导方程进行解析计算，得到其温度场结果，并分析泵浦光参数、单晶光纤参数等因素对该Nd :YAG单晶光纤温度场的影响，进一步研究该解析法与有限元法计算的温度场结果与实验结果的一致性。除此之外，对比分析了单晶光纤和传统激光晶体在高功率泵浦激光作用下的温度场变化结果，以验证单晶光纤的热管理特性。

泵浦激光被视作高斯光束，其光强分布为，其中，I₀为泵浦光强，ω为泵浦光光斑半径，泵浦光强可表示为I₀= 。对于Nd :YAG单晶光纤，q_v(r 为其内部热功率密度，其中，β代表单晶光纤对泵浦光的吸收系数，代表热转换系数，式中λ_P、λ_L分别代表泵浦光波长和激光波长。

本研究中的单晶光纤激光器采用侧面循环水冷的冷却方式，水冷温度保持为25 ℃，模块与单晶光纤之间的热接触由碳箔保证。激光器的结构示意图如图 1所示，808 nm泵浦激光经由单模光纤传输和透镜系统准直后打入单晶光纤端面。置于单晶光纤前端的输入耦合镜镀膜对波长为808 nm激光高度透射，并对946 nm激光高度反射，以防止寄生振荡的产生^[16-18]。

图  1  Nd :YAG单晶光纤激光器结构示意图

Figure 1.  Schematic diagram of Nd :YAG SCF laser

对泵浦激光入射单晶光纤导致的热效应进行分析，该单晶光纤热模型所满足的边界条件如下：

采用圆柱坐标系下的泊松方程，对单晶光纤的热传导情况进行描述，如公式(3)所示：

对公式(3)进行解析求解，得到Nd :YAG单晶光纤的温度场结果如下:

式中。其中，J₀为零阶Bessel函数，α_n为零阶Bessel函数值等于零时的第n解，R为单晶光纤的半径，L为光纤长度，λ为单晶光纤热传导系数。

为进一步描述在高功率泵浦光作用下Nd :YAG单晶光纤的温度分布情况，基于公式(4)得到单晶光纤温度场的三维分布结果。计算中的参数设定，808 nm泵浦激光功率为86 W，光斑入射至单晶光纤端面处的泵浦光半径为500 μm，Nd :YAG单晶光纤Nd³⁺掺杂浓度为0.2%，光纤纤芯直径为1 mm，长度为50 mm，由此得到的结果如图 2所示。

图  2  Nd :YAG单晶光纤温度场

Figure 2.  Temperature field of Nd :YAG SCF

从图中可以看出，单晶光纤的端面温度沿单晶光纤轴向和径向均快速下降，意味着热功率密度随泵浦光通光距离的增加而呈指数衰减。泵浦光入射单晶光纤时光纤端面处温升结果由图 3给出，可以看出最大温升出现在泵浦光入射端面的中心处，最高温升值为30.98 ℃。

图  3  Nd :YAG单晶光纤端面温升

Figure 3.  Temperature rise of the incident end of Nd :YAG SCF

为对比单晶光纤和传统光纤在热管理方面的差别，研究了在高功率泵浦光作用下，传统Nd :YAG晶体的温度分布情况。采用具有相同参数的808 nm泵浦光作用于传统激光晶体，该晶体内部Nd³⁺掺杂浓度为0.2%。目前实际应用的传统晶体半径多在1.5 mm(圆棒)及以上，尺寸过小的晶体在高功率激光泵浦下易发生损坏。本文采用Φ3 mm晶体进行实验，分析其端面温升受泵浦光照射的影响，分析结果如图 4所示。

图  4  Nd :YAG晶体端面温升

Figure 4.  Temperature rise of the incident end of Nd :YAG crystal

根据图 4可以得到该晶体端面最高温升为94.37 ℃，上文中Nd :YAG单晶光纤端面的最高温升为30.98 ℃，该对比结果说明单晶光纤结构有助于降低温度升高和温度梯度。在86 W的高泵浦功率下，其温升也保持在相当小的范围内，反映了Nd :YAG单晶光纤激光器具有良好的工作性能。虽然已知Nd :YAG晶体本身有很好的光学和散热特性，被广泛用于研制高性能激光器，但由此看来Nd :YAG晶体单晶光纤则具有更好的散热特性。

Nd :YAG单晶光纤受高功率泵浦光作用，热效应相关的温度场分布与泵浦光相关参量、单晶光纤自身相关参数有直接关系。通过分析温度场与上述重要参数之间的关系，为优化单晶光纤激光器性能提供重要参考。首先分析单晶光纤对泵浦光的吸收系数β与该单晶光纤端面温升的关系，结果如图 5(a)所示。可见，沿泵浦光入射方向，对应于晶体光纤轴向即图中z轴，该光纤内部温度变化受吸收系数β的影响明显，随着晶体吸收系数β的增大，泵浦光在越来越短的入射长度内被吸收，温度变化程度迅速增大。

图  5  吸收系数对Nd :YAG单晶光纤温度分布的影响

Figure 5.  Influence of absorption coefficient on temperature distribution of Nd :YAG SCF

为了更精确地表征温度场分布受相关参量的影响，采用“温度值均方差”(Root Mean Square, RMS)描述，即计算晶体光纤内RMS随激光参量的变化，来衡量晶体内部温度场的均匀性分布情况。以样本中每个数据与样本平均值差的平方和的平均值为样本方差，其平方根为样本均方差，表示为，其中A(x)为随机样本x的平均值。其值越大，样本数据波动越大，偏离整体样本平均值越大，即说明样本不均匀性程度越高。

图 5(b)为在不同吸收系数下，Nd :YAG单晶光纤内部温度值随吸收系数变化的均方差图。图中，在小吸收系数下，温升值小，该均方差值σ(x)也较小，意味着单晶光纤温度场分布均匀性好，但由于是小吸收系数，即意味该单晶光纤对泵浦光的吸收效率较低，吸收的泵浦光能量较少，导致输出功率随之下降。但若系数过大，大部分能量被晶体表面区域吸收，到达内部的能量较少，此时，该单晶光纤温升大，可以看出对应的温度值均方差随之增大，导致温场分布均匀性越来越差。均方差图表明，Nd :YAG单晶光纤对泵浦光的吸收系数β对温度场均方差σ(x)的影响较大，即对单晶光纤温度场分布影响大。若吸收系数选择过高，由于热问题导致的热透镜效应会引起光场不稳定，产生多模式光场耦合，最终严重制约了单晶光纤激光器输出功率的提高。

单晶光纤的温度场分布受到光纤自身半径尺寸的影响，两者之间的关系如图 6(a)所示。由图可以看出随着晶体光纤半径的增大，其入射端面的温升值也越来越大，即意味着晶体光纤整体温度升高。温度值均方差σ(x)受光纤半径影响的结果如图 6(b)所示，在单晶光纤的纤芯半径值较小的情况下，均方差较小且变化缓慢，随着纤芯半径越来越大，该均方差值也增加且变化剧烈，此时单晶光纤的温度场非均匀性分布越来越差，导致热效应问题越来越严重。在侧面冷却装置的对流换热条件下，对光纤而言，其纤芯越细，散热越快，因此有利于温度场的均匀性分布，但是小半径光纤对制造工艺提出一定挑战。

图  6  纤芯尺寸对Nd :YAG单晶光纤温度分布的影响

Figure 6.  Influence of SCF core radius on temperature distribution

单晶光纤温度场受泵浦激光的光斑尺寸影响结果，如图 7(a)所示。由图可以看出，在固定的泵浦光功率条件下，随着该光斑数值的增大，单位面积上的光功率减小，因此单晶光纤端面的整体温度降低。图 7(b)中温度值均方差σ(x)随泵浦光斑尺寸的增大而减小，该温度场的分布均匀性越来越好。

图  7  泵浦光光斑尺寸对Nd :YAG单晶光纤温度分布的影响

Figure 7.  Influence of pump laser beam radius on temperature distribution

以上泵浦光和单晶光纤相关参数对光纤温度场影响的讨论，有利于选择合适的参数，以期实现较低温升、分布均匀性好的温度场，进而为单晶光纤激光器热分析研究提供理论性。

文献[15]采用有限元方法计算在功率为86 W，光斑半径为500 μm的808 nm泵浦光的作用下，掺杂浓度为0.2%，光纤纤芯直径为1 mm的Nd :YAG单晶光纤入射端面中心区域的温升为19 ℃，但这一计算结果与其实验测量值31 ℃之间有一定差异。实验测量的单晶光纤端面温升如图 8所示，由该图可以看出单晶光纤温度场温度值随光纤径向距离的增大呈逐步下降趋势。

图  8  单晶光纤端面温升的有限元方法分析结果

Figure 8.  Temperature rise of the incident end face of Nd:YAG SCF calculated by finite element analysis

通过本文的解析方法，在采用相同参数的808 nm泵浦光和Nd :YAG单晶光纤的分析条件下，得到图 9所示的单晶光纤端面温升情况。分析过程中，设定的边界条件为25 ℃，和文献[15]中实验采用的外冷却条件是相同的。由该图可以看出，采用解析法得到的温度分布和上述实验测量结果具有相似规律，即在光纤端面处均沿径向温度下降，且端面中心温升为30.98 ℃，与文献中的实验测量结果接近，说明本文对单晶光纤温度场分析所采用的计算方法较为精确，反映了Nd :YAG单晶光纤内部的温度分布情况。

图  9  单晶光纤端面温升的解析法分析结果

Figure 9.  Temperature rise of the incident end face of Nd:YAG SCF calculated by analytical method

本文建立了单晶光纤的热模型并采用解析方法对热传导方程进行求解，得到在808 nm泵浦光端面抽运作用下，掺杂浓度为0.2%的单晶光纤端面中心的温升结果为30.98 ℃。一方面与传统晶体的温升结果相比，该分析结果证明了Nd :YAG单晶光纤可以提供卓越的热管理功能，另一方面对比有限元法数值计算得到的端面最高温升19 ℃和实验测量31 ℃的两个数据，本研究得到的温度场解析结果与实验测量值较为接近，体现了解析法求解单晶光纤温度场的精确性。此外，文章分析了单晶光纤吸收系数、单晶光纤半径以及泵浦光的光斑尺寸等参量对单晶光纤温度分布的影响。目前国内更多地关注于单晶光纤材料本身的研究，但在基于单晶光纤增益介质的激光器的基础理论和技术实现方面和国外还有很大差距。本文对单晶光纤温度场的研究，有利于控制与降低激光器的热效应，为研制高光束质量、高功率输出的优质单晶光纤光源，提供了一定的理论参考。