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近年来，CGH的制作精度随着微电子技术的发展越来越高，因此CGH被广泛的应用于非球面检测[1-5]。CGH属于补偿器的一种。与传统的Dall和Offner补偿器不同，CGH是一种衍射光学元件，它是利用光的衍射效应来实现对非球面像差的补偿，从而实现非球面的零位检测。
计算全息编码是指将CGH相位转换为空间条纹分布。刻蚀设备可识别DXF、GDS II、CIF等数据格式。由于刻蚀设备只能以折线的方式进行刻蚀，因此需将光滑条纹离散成多边形。为了保证编码精度，通常采用高密度采样逼近理想曲线，从而实现高精度编码。然而，高密度采样意味着编码数据量巨大，导致刻蚀设备内存负担加大，且刻蚀时间大大增加。因此需要选择合适的方法对CGH进行编码[6]。
目前，常用的CGH编码方法有迂回相位编码法、修正离轴参考光编码法、相位轮廓测量术及计算全息干涉编码法等[7-8]。其中迂回相位编码法需近似取值，因此总会引入相位误差，且罗曼型编码方法实现非常困难，不利于产生非球面波。修正离轴参考光编码法由于需要与参考光进行叠加运算，因此增加了计算量。且这些方法要实现高精度编码都会使得编码数据量巨大。
Jiao Fan等为了克服迂回相位编码不利于产生非球面波的缺点，提出逐点追迹进行计算。虽然该方法能很好的控制误差，但求解过程太过复杂[9]。
为了克服上述问题，Ma Jun等人提出了一种在不同径向位置选择不同采样密度的方法来近似计算全息图条纹，但是该方法对于曲率连续变化的条纹近似效果并不理想[10]。
针对迂回相位编码、修正离轴参考光以及计算全息干涉等编码方法存在的编码精度与编码数据量之间的矛盾，本文提出了一种变步长CGH编码方法，该方法根据编码精度的需求可以简单便捷地选择采样频率，以最小的编码数据量实现高精度编码要求。该编码方法还具有能够减轻刻蚀设备内存负担以及降低CGH制作的时间成本等优点。
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假设CGH产生的波前相位函数表示为
$\Phi \left( {x,y} \right)$ ，并令：$$\Phi \left( {x,y} \right) =m\sum\limits_{i = 1}^N {{A_i}{Z_i}(x,y) = } Nm\pi ,$$ (1) 其中N为整数，m为衍射级次。函数
$\Phi \left( {x,y} \right)$ 的编码过程如图1所示。首先，通过解算(1)式得到刻线分布，如图1(a)所示，其中m为衍射级次；其次，将得到的各等相位曲线编码成多边形便于CGH刻蚀设备识别，占空比为0.5，如图1(b)所示。
图 1 CGH编码过程（a）搜索CGH条纹分布（b）条纹编码成多边形
Figure 1. CGH encoding process (a) Generating fringes using phase contour interferograms (b) Encoding the fringes into polygons
传统的CGH编码方法中，均采用增大采样密度的方式来提高编码精度。然而，这一方法虽可提高精度，但是相应的编码数据量也将急剧增加。为了减少编码数据量，同时最大程度的提高编码精度，本文提出基于相位分布梯度大小选择采样密度的方式来实现目标。编码过程如下：
1. 根据被测非球面设计CGH并计算相位分布
$\Phi \left( {x,y} \right)$ ；2. 计算
$\Phi \left( {x,y} \right)$ 的梯度分布；3. 根据
$\Phi \left( {x,y} \right)$ 梯度分布情况动态选择采样步长进行编码并保存数据；4. 将数据转换为GDS II或OASIS等刻蚀机器可读格式。
CGH的相位函数表示为
$\Phi \left( {x,y} \right)$ ，那么其在二维矢量场的梯度为：$$\Delta \Phi = \left( {{\Phi _x},{\Phi _y}} \right),$$ (2) 其中
${\Phi _x} = \left[ {\partial \Phi \left( {x,y} \right)/\partial x} \right]$ ,${\Phi _y} = \left[ {\partial \Phi \left( {x,y} \right)/\partial y} \right]$ 如图2为理想条纹数值化示意图，在这一过程中，会不可避免地导致实际条纹与理想条纹产生偏差，从而引起波前误差[11]：
$$\Delta W\left( {x,y} \right) = - m \cdot {{\lambda}} \cdot \frac{{\delta \left( {x,y} \right)}}{{S\left( {x,y} \right)}},$$ (3) 其中，λ为波长，S为局部条纹周期，δ为实际条纹与理想条纹的偏差。由(3)式可知，编码误差与波长、衍射级次以及编码偏差成正比，与局部条纹周期成反比。
图 2 理想条纹数值化示意图
Figure 2. The digitizationprocessof ideal fringe
CGH编码时，通常根据可接受的最大编码误差给出误差边界来控制编码误差大小。图3为编码偏差与编码采样步长的几何关系图，如图所示：
$$L = 4\sqrt {R \cdot \delta } = 4\sqrt {\sigma S/c} ,$$ (4) 其中R = 1/c，
$\sigma = \delta /S$ 。
图 3 编码采样步长与编码偏差几何关系图
Figure 3. The geometric relationship between encoding sampling step and encoding deviation
根据采样频率与采样步长的关系，采样频率可表示为：
$$\gamma = 1/L = \frac{1}{4}\sqrt {\frac{c}{{\sigma S}}} .$$ (5) 根据Wenrui Cai的分析，采样频率γ 可表示为[11]：
$$\gamma \left( {x,y} \right) = \frac{1}{4}\sqrt {\frac{{\left| {{k_c}} \right|}}{{\sigma \lambda /P}}}, $$ (6) 其中
${k_c}$ 为相位等高线的曲率，表达式为${k_c} = - \left( {\Phi _y^2{\Phi _{xx}} - 2{\Phi _x}{\Phi _y}{\Phi _{xy}} + \Phi _x^2{\Phi _{yy}}} \right)/{P^3}$ ，${\Phi _{xx}}$ 、${\Phi _{yy}}$ 为相位函数的二阶偏导数，其中$P = \sqrt {\Phi _x^2 + \Phi _y^2} $ 。CGH编码引起的局部相位误差可表示为：$$\Delta {W_{RMS}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\sigma \lambda }}{{\sqrt 2 }}\sqrt {1 - \left[ {\frac{{P\left( {x,y} \right)/\lambda - {f_{cutoff}}}}{{P\left( {x,y} \right)/\lambda - \gamma \left( {x,y} \right)}}} \right]} ,$$ (7) 其中
${f_{cutoff}}$ 为干涉仪截止频率，${f_{cutoff}} \geqslant \gamma $ ，则整体编码误差的RMS可表示为[11]：$$\Delta {W_{RMS}} = \frac{1}{{MN}}\sum\limits_{x = 1}^M {\sum\limits_{y = 1}^N {\Delta {W_{RMS}}\left( {x,y} \right)} } .$$ (8) 通过上述分析，建立了采样步长与编码误差之间的联系。为动态选择编码步长，需先确定编码所需达到的精度。假设编码误差为W，经简单分析可知局部编码误差的值约为
$W\left( {x,y} \right)$ 。根据(7)式可得：$$\gamma \left( {x,y} \right) = \frac{{{\sigma ^2}{\lambda ^2}{f_{cutoff}} - 2{W^2}P\left( {x,y} \right)/\lambda }}{{{\sigma ^2}{\lambda ^2} - 2W{{\left( {x,y} \right)}^2}}}.$$ (9) 采样步长可表示为：
$$L\left( {x,y} \right) = \frac{1}{{\gamma \left( {x,y} \right)}} = \frac{{{\sigma ^2}{\lambda ^2} - 2W{{\left( {x,y} \right)}^2}}}{{{\sigma ^2}{\lambda ^2}{f_{cutoff}} - 2{W^2}P\left( {x,y} \right)/\lambda }}.$$ (10) 根据式(3)求得δ与W的关系为：
$$\delta = - \frac{{W \cdot S}}{{m \cdot \lambda }}.$$ (11) 将(11)代入(10)式得：
$$L\left( {x,y} \right) = \frac{{{{\left( { - \dfrac{{W\left( {x,y} \right)}}{m}} \right)}^2} - 2W{{\left( {x,y} \right)}^2}}}{{{{\left( { - \dfrac{{W\left( {x,y} \right)}}{m}} \right)}^2}{f_{cutoff}} - 2W{{\left( {x,y} \right)}^2}P\left( {x,y} \right)/\lambda }}.$$ (12) 至此，便可根据编码需求动态的选择编码步长进行编码。但是由于刻蚀机器只能识别特定格式的文件，因此需将编码数据转为GDSⅡ格式文件。根据GDSⅡ基本结构要求编写程序将编码数据转换为GDSⅡ格式[12-13]。
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对一高次非球面设计了零位补偿CGH，非球面可表示为：
$${\rm{Z}} = \frac{{c{\rho ^2}}}{{1 + {{\left[ {1 - \left( {K + 1} \right){c^2}{\rho ^2}} \right]}^{1/2}}}} + {A_1}{\rho ^4} + {A_2}{\rho ^6},$$ (12) 式中Z为非球面矢高，K为二次曲面常数，A1、A2为高次项系数，ρ为非球面径向坐标，c为顶点曲率。非球面的具体参数如表1所示。
表 1 非球面参数
Table 1. Parameters of the aspheric lens
R D K A1 A2 −310.08 63 3.275 −2.148E-8 −1.137E-12 在计算全息图的设计阶段，必须考虑以下四个方面：衍射杂光的分离与去除、降低条纹密度、限制CGH口径以及约束投影畸变。为提高CGH设计效率，建立了CGH设计模型[5]。该模型综合考虑了上述四方面问题，将非球面的参数代入模型，得出CGH在光路中位置与所需加载载频量（其中CGH口径为63 mm），利用等光程原理计算CGH相位，相位分布如图4所示；对相位梯度进行求解，结果如图5所示。
图 4 CGH相位分布示意图
Figure 4. The phase distribution of the CGH
图 5 CGH相位函数梯度分布
Figure 5. The gradient distribution of the CGH phase function
根据第2节所述的编码原理以及编码精度要求，将编码误差容限设为0.03 nm，编写程序对CGH进行编码，结果如图6所示。编码后的最小条纹间距为11 μm，最大条纹间距为480 μm。完成上述过程后，利用传统方法编程对同一CGH进行编码，其数据量高达160 GB，本文所提出的方法数据量仅为3 GB，且相较于传统方法，其计算时间大大缩短，仅为16小时。
图 6 CGH条纹分布示意图
Figure 6. The fringes distribution of CGH.
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为验证本文所述的CGH编码方法，设计了对比实验进行验证。所有元件加工完成后，对非球面进行检测。由于检测系统误差主要由CGH基底误差，因此，为了避免CGH基底对检测产生影响，利用零级衍射光对CGH的基底误差进行标定，标定光路如图7所示（图中虚线框代表将CGH从标定光路取出的过程，TF(transmission flat)、RF(reference flat)为平面标准具），基底误差标定结果为：PV=24.361 nm，RMS=2.059 nm，如图8所示。
图 7 标定光路示意图
Figure 7. Optical path of calibration the CGH substrate error
图 8 CGH基底误差
Figure 8. CGH substrate error
完成CGH基底误差标定后，利用如图9所示的光路对非球面进行检测，非球面镜实物如图10。实验过程中，通过观察干涉条纹实现各元件的对准。为了验证CGH法检测非球面的可信度，本文使用零位补偿器对非球面进行检测，两者的检测结果如图11所示。
从图11可以看出，零位补偿器检测结果为18.067 nmPV，3.645 nmRMS，CGH检测结果为15.304 nmPV，3.142 nmRMS，两者在数值上仅相差0.503 nmRMS。将CGH检测结果与补偿器检测结果点对点做差，结果如图12所示。
图 9 非球面检测装置光路图
Figure 9. Optical path photo of the aspheric measurement installation
图 10 被检非球面镜
Figure 10. Aspheric mirror
图 11 非球面检测结果
Figure 11. The test results of the aspheric mirror
图 12 CGH与补偿器检测结果对比
Figure 12. The difference between CGH and null lens test results
图12可以看出，CGH法与补偿器法两者检测结果相减后RMS值为1.291 nm，各项Zernike系数差值均在0.002λ (λ=632.8 nm)以内，表明本文提出的CGH编码方法能够实现非球面高精度检测。
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本文提出了一种基于CGH相位梯度动态选择步长的编码方法，该方法能够有效地解决传统编码方法的编码精度与编码数据存在矛盾的问题，且能够满足非球面高精度检测的需求。本文设计、编码并制作了CGH检测非球面，检测结果为3.142 nmRMS。为验证CGH检测非球面结果可靠性，本文利用零位补偿器对非球面进行检测与CGH检测结果进行对比，补偿器检测结果为3.645 nmRMS。对CGH和补偿器的检测结果点对点做差，RMS为1.291 nm，且各Zernike项的差值都小于等于0.002λ，说明了该编码方法可满足非球面高精度检测的需求。
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摘要: 近年来，基于计算全息图（computer-generatedhologram，CGH）的非球面检测技术通过控制衍射光相位来生成所需要的参考波前，从而实现非球面的零位检测，已经发展成为了非球面的主流检测技术之一。针对CGH编码，传统编码方法要实现高精度编码，其数据量往往高达几十甚至上百GB。因此，为同时实现编码精度高及编码数据量小，本文提出了一种变步长CGH编码方法，该方法首先通过寻找等相位面的方法得到CGH条纹分布，然后通过计算相位分布梯度选取不同的取样频率，使CGH能利用尽可能少的点实现高精度编码。利用变步长搜索的编码方法进行编码并制作了CGH对非球面进行检测，检测结果为3.142 nmRMS。为验证检测结果可信度，本文设计并制作了补偿器对同一非球面进行了检测，检测结果为3.645 nmRMS。对两检测结果点对点做差，RMS值为1.291 nm，表明该编码方法可满足非球面高精度检测需求。Abstract: In the field of aspheric testing, computer-generated hologram (CGH) technology has been widely used. CGH encoding, which is the conventional encoding method to achieve highly accurate coding, uses an amount of data that is often up to tens or even hundreds of gigabytes. Therefore, in order to achieve high encoding accuracy with a small amount of encoded data, this paper proposes a variable step size CGH encoding method. This method selects different sampling frequencies by calculating the phase distribution gradient so that the CGH achieves high precision coding using as few points as possible. Finally, the method was used to CGH encode, then the resulting CGH was manufactured to test an aspheric surface. The test result had 3.142 nmRMS. In order to verify the credibility of the test results, this paper designs and makes a compensator to test the same aspheric surface. The test result had 3.645 nmRMS. The difference between the two results is 1.291 nmRMS, and shows that the encoding method can meet the requirements of high-precision testing of aspheric surfaces.
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Key words:
- computer-generated hologram /
- CGH encoding /
- aspheric test
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图 1 CGH编码过程（a）搜索CGH条纹分布（b）条纹编码成多边形
Figure 1. CGH encoding process (a) Generating fringes using phase contour interferograms (b) Encoding the fringes into polygons
图 3 编码采样步长与编码偏差几何关系图
Figure 3. The geometric relationship between encoding sampling step and encoding deviation
表 1 非球面参数
Table 1. Parameters of the aspheric lens
R D K A1 A2 −310.08 63 3.275 −2.148E-8 −1.137E-12 
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图(12) / 表 (1)
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