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摘要:
为了产生轴向双焦点中空环形光斑，基于矢量衍射积分得出的环带半径公式，设计产生了呈环带分布的轴向双焦点的螺旋相位，并研究了这种螺旋相位在高数值孔径物镜聚焦区域的光斑特性。首先，给出了线偏振以及圆偏振的涡旋光束在高数值孔径物镜聚焦条件下的积分表达式。然后，利用此积分表达式数值模拟了线偏振光与圆偏振光在不同轴向偏移距离及螺旋拓扑荷值时的聚焦光场分布。最后，将轴向双焦点螺旋相位加载到纯相位空间光调制器上，分别对圆偏振光与线偏振光入射进行实验研究。线偏振光入射时，实验产生了拓扑荷为1且轴向距离为±10 μm、±15 μm的双聚焦环形光斑；圆偏振光入射时，产生了轴向距离为±20 μm且拓扑荷为1到4时的双聚焦环形光斑。数值模拟与实验结果表明：圆偏振光与线偏振光经此螺旋相位调制后，在紧聚焦区域可产生轴向距离与暗斑大小可调的中空环形双焦点；圆偏振光较线偏振光产生的空心光斑光强分布更均匀，呈圆对称分布。此轴向双焦点螺旋相位有望在光学微操控、双光束超分辨纳米光刻以及STED显微成像方面获得一定的应用。
Abstract:In order to generate double doughnut-shaped focal spots at adjustable positions along the axial direction, a vortex phase zone plate based on a formula of annular radius derived from vector diffraction integral was designed. The focusing properties of the modulated vortex phase zone plate were further investigated in a tightly focused system. First, integral formulas of linearly and circularly polarized vortex beams were calculated under high NA focusing conditions. Then, the intensity distributions of linearly and circularly polarized vortex beams in a high NA focusing system were simulated by integral formulas with various axial shifting distances and topological charges. Finally, the corresponding experimental results of linearly and circularly polarized light were also given, utilizing a spatial light modulator loaded on double doughnut-shaped phase patterns. The double doughnut-shaped focal spots with a topological charge of 1 and axial distances of ±10 μm and ±15 μm were produced when the incident light was linearly polarized. As well as the double doughnut-shaped focal spots with axial distances of ±20 μm, topological charges of 1−4 were also produced when the incident light was circularly polarized. The simulated and experimental results demonstrated that two doughnut-shape focal spots with controllable axial shifting distances and dark spot sizes could be produced in the tight focusing region of a high NA objective when it is modulated by the vortex phase zone plate. This kind of vortex phase zone plate could be applied in the field of optical micromanipulation, two-beam super-resolution nanolithography, and Stimulated-Emission-Depletion (STED) fluorescence microscopy.
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1. 引 言
中空环形光斑，即中心光强为零且呈现为环状分布的光斑[1-2]，在光学微操纵[3]、双光束超分辨纳米光刻[4]以及受激发射损耗超分辨显微成像[5]等领域具有广泛的应用。螺旋相位板[6-7]是透明的衍射光学元件，光束通过该相位元件后会附加一个螺旋相位因子einθ，其中n为拓扑荷，θ为旋转方位角。一束激光通过螺旋相位板后就具有了螺旋相位特性，经透镜聚焦后就会产生中空的环形光斑，因其原理简单、操作方便、光束利用率高等优点而得到广泛关注和研究[7-8]。但是，一束光通过螺旋相位板聚焦之后只能产生一个中空环形光斑。因此，应用于光学微操作时只能对一个目标进行捕获或控制，而不能同时对多个目标进行操控。另一方面，在双光束超分辨光刻及超分辨显微成像方面，很难实现多焦点的并行加工与并行扫描成像，尤其在轴向方向上。而加工与成像效率又是纳米加工与显微成像技术中的一个重要要求，尤其针对大容量的信息存储与读取以及大面积物体的层析扫描成像等，多个中空环形光斑可以有效提高写入与读取速度。
通过将一束激光分为几束的方法，比如利用光栅[9-10]、阵列照明器[11]、光楔[12]等，然后再通过螺旋相位板或超表面技术[13-14]等可以产生多个中空环形光斑。但是这些方法只能产生横向上的多个环形光斑，很难实现轴向方向上的多个聚焦环形光斑。最近，余俊杰等人利用圆环型达曼光栅实现了聚焦无衍射的双贝塞尔光束，在此基础上，研究了圆环达曼光栅的轴向聚焦特性[15-16]。其次，利用达曼光栅[17]与涡旋相位相结合，实现了螺旋型的达曼波带片，用来产生轴向分布的多个偶极涡旋[18-19]。除此之外，利用两元超震荡透镜[20-21]，或者采用超构表面[22]、光子筛[23]也可实现轴向多焦点。但是不管是圆环型达曼光栅还是超震荡透镜都是利用透射函数的傅立叶变换迭代产生的，为了得到高的衍射效率，其波带片的环半径一般都通过最优化产生，所以很难获得聚焦焦点动态变化的波带片。利用超构表面可以产生动态可调的轴向多焦点，但这种方法成本过高，难以制作，同时衍射效率也不高，只能实现微粒在焦斑附近的固定，而很难达到对微粒的轴向操控。此外，大多数应用于聚焦场产生双焦点的二元相位波带片，其环带半径的设计几乎都采用数值优化算法，并没有给出一种类似于菲涅耳波带片的环半径形式的解析解，其通用性差，计算量大。更没有简便算法设计出使光束在聚焦区域产生双焦点的中空环形光斑的波带片。先前研究设计的二元波带片[24]，可以在紧聚焦区域产生轴向距离可调、数目可调的双焦点，但是仅讨论了径向偏振的贝塞尔高斯光束[25-26]的紧聚焦情况，并且产生的双焦点并没有实现中空的环形光斑。
本文首先基于理查德-沃尔夫(Richard-Wolf)矢量衍射理论推导出了线偏振以及圆偏振的涡旋光束在高数值孔径物镜聚焦条件下的积分表达式。并利用此积分表达式推导出的轴向双焦点的环带解析公式，设计了一种聚焦产生双焦点的涡旋相位，并数值模拟了线偏振光与圆偏振光在不同轴向偏移距离及涡旋拓扑荷值[27]时的聚焦光场分布。然后，借助于纯相位空间光调制器[28-29]及高数值孔径物镜[30-31]进行了相应的实验研究。数值模拟与实验结果表明，圆偏振光与线偏振光经此涡旋相位调制后，在紧聚焦区域可产生中空环形双焦点光斑，且轴向距离与暗斑大小可调，且圆偏振光在聚焦场[32]分布的双空心光斑较线偏振光光强更均匀，呈圆对称的环形光斑。基于此设计的轴向双焦点螺旋相位波带片与现有的波带片相比，衍射效率更高，并可实现轴向双焦点光斑的位置与暗斑大小的动态可调。这种涡旋波带片可应用于轴向动态操控的光学微粒捕获、光学并行微纳米加工以及光学超分辨存储等领域[33-36]。
2. 基本原理
根据理查德-沃尔夫(Richard-Wolf)衍射理论[37-38]，光束经过高数值孔径物镜聚焦后的光场分布为：
\begin{split} {\boldsymbol{E}({\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}},{\boldsymbol{z}})} =& \int_{\text{0}}^\alpha {\int_{\text{0}}^{{\text{2}}{\text{π}} } {{{\boldsymbol{E}}_{\boldsymbol{t}}}{(\boldsymbol{\theta} ,{\boldsymbol{\varphi}} )}{{\rm{e}}^{ik\textit{z}\cos \theta }}} } \times \\ &{{\rm{e}}^{ik\sqrt {{x^2} + {y^2}} \sin (\theta )\left[ {\arctan \left(\tfrac{y}{x} - \varphi \right)} \right]}}{\rm{d}}\varphi {\rm{d}}\theta \quad. \end{split} (1) 其中，x、y和z分别为聚焦场的笛卡尔直角坐标系的3个分量，Et(θ, φ)为透射场的光场分布，k=2π/λ为波矢，λ为入射光波长，α=arcsin(NA/nt)，是由数值孔径NA决定的最大会聚角，nt为介质折射率。
进一步地，当入射光为线偏振的涡旋光束时，经坐标系变换及利用贝塞尔恒等式后，紧聚焦光场分布的表达式可以表示为:
\begin{split} &{\boldsymbol{E(\rho ,\varphi ,z)}}=\left[ \begin{gathered} {E_x}(\rho ,\varphi ,{\textit{z}}) \\ {E_y}(\rho ,\varphi ,{\textit{z}}) \\ {E_{\textit{z}}}(\rho ,\varphi ,{\textit{z}}) \\ \end{gathered} \right]= \\ & {i^n}\left[ \begin{gathered} - iA[{I_n} + 0.5({I_{n + 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}2\varphi }} + {I_{n - 2}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}2\varphi }})] \\ - A[0.5({I_{n + 2}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}2\varphi }} - {I_{n - 2}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}2\varphi }})] \\ - A[0.5({I_{n + 1}}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\varphi }} - {I_{n - 1}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\varphi }})] \\ \end{gathered} \right]{{\rm{e}}^{in\varphi }}\quad, \end{split} (2) 其中，A为与光强相关的常数，ρ、z和φ为聚焦场在柱坐标系的3个坐标分量。In、In±1和In±2的定义为：
\begin{split} {I_n}(\rho ,\varphi ,{\textit{z}})=&\int_0^\alpha {P(\theta )\sqrt {\cos \theta } (\sin \theta )(1 + \cos \theta )}\times \\ & {{\rm{J}}_n}(k\rho \sin \theta ){{\rm{e}}^{{\rm{i}}k{\textit{z}}\cos \theta }}{\rm{d}}\theta\quad, \end{split} (3) \begin{split} {I_{n \pm 1}}(\rho ,\varphi ,{\textit{z}}) =& \int_0^\alpha P(\theta )\sqrt {\cos \theta } (\sin^2 \theta )\times \\ & {{{J}}_{n\pm 1}}(k\rho \sin \theta ){{\rm{e}}^{{\rm{i}}k{\textit{z}}\cos \theta }}{\rm{d}}\theta \quad, \end{split} (4) \begin{split} {I_{n \pm 2}}(\rho ,\varphi ,{\textit{z}})=&\int_0^\alpha {P(\theta )\sqrt {\cos \theta } (\sin \theta )} \times \\ &(1 - \cos \theta ){{\rm{J}}_{n \pm 2}}(k\rho \sin \theta )\times \\ & {{\rm{e}}^{{\rm{i}}k{\textit{z}}\cos \theta }}{\rm{d}}\theta \quad. \end{split} (5) 上式中，Jn、Jn±1和Jn±2分别为级次为n、n±1和n±2的第一类贝塞尔函数，P(θ)为高数值孔径物镜的切趾函数，n为涡旋相位的拓扑荷值。
当入射光为圆偏振的涡旋光束时，高数值孔径物镜的紧聚焦区域的光场分布表达式为[39]:
\begin{split} {E_\rho }(\rho ,\varphi ,{\textit{z}})=&A{{\rm{e}}^{{\rm{i}}(n + 1)\varphi }}{i^{n + 1}}\int_0^\alpha {\sqrt {\cos \theta } } \times \\ &\sin \theta \left[ {{{\rm{J}}_{n + 2}}(k\rho \sin \theta )}+ \right. \\ &\left. { {i^{ - 2(n + 1)}}{{\rm{J}}_{ - n}}(k\rho \sin \theta )} \right] \times {{\rm{e}}^{{\rm{i}}k{\textit{z}}\cos \theta }}{\rm{d}}\theta \quad, \end{split} (6) \begin{split} {E_{\textit{z}}}(\rho ,\varphi ,{\textit{z}})=&A{{\rm{e}}^{{\rm{i}}(n + 1)\varphi }}{i^n}\int_0^\alpha {\sqrt {\cos \theta } } {\sin ^2}(\theta ) \times\\ & P(\theta )\left[ {{{\rm{J}}_{n + 1}}(k\rho \sin \theta )}+ \right. \\ & \left. { {i^{ - 2(n + 1)}}{{\rm{J}}_{ - (n + 1)}}(k\rho \sin \theta )} \right] \times {{\rm{e}}^{{\rm{i}}k{\textit{z}}\cos \theta }}{\rm{d}}\theta \quad, \end{split} (7) \begin{split} {E_\varphi }(\rho ,\varphi ,{\textit{z}})=& - A{{\rm{e}}^{{\rm{i}}(n + 1)\varphi }}{i^n}\int_0^\alpha {\sqrt {\cos \theta } } \sin \theta \times \\ & P(\theta )\left[ {{{\rm{J}}_{n + 2}}(k\rho \sin \theta )} +\right. \\ &\left. { {i^{ - 2(n + 1)}}{{\rm{J}}_{ - n}}(k\rho \sin \theta )} \right] \times {{\rm{e}}^{{\rm{i}}k{\textit{z}}\cos \theta }}{\rm{d}}\theta \quad, \end{split} (8) 其中，Eρ、Ez和Eφ表示圆偏振涡旋光束在柱坐标系下沿径向、轴向和角向的聚焦光场分量。
由式(2)~式(5)，可以计算线偏振涡旋光束在高数值孔径物镜聚焦后的三维光场分布，公式(6)~(8)可以用来计算圆偏振涡旋光束的紧聚焦区域的三维光场分布。由以上公式可以看出，高数值孔径物镜聚焦区域的光场分布中，与轴向分布有关的相位因子为e(ikzcosθ)，当聚焦光斑偏离焦点位置时，相位变为e[ik(z±Δz)cosθ]，其中Δz为偏移焦点的轴向距离。由此，可用e(ik|Δz|cosθ)项设计双焦点波带片。波带片的环带半径解析式如下：
{r_m}=f\sqrt {1 - {{\left(\frac{{m\lambda }}{{2\Delta {\textit{z}}}}\right)}^2}} \quad, (9) 其中，rm为第m个环带所对应的半径，m为自然数，f为物镜焦距。在由公式(9)产生的环半径形成的环带中，交替填充上二元相位(0, π)时，可以在轴向上产生双焦点，但此时的双焦点的光强分布不是空心光斑。若在波带片的环带中交替添加上相位差为π的涡旋相位（如图1所示），则在聚焦区域将会产生中空的轴向双焦点。积分公式(1)~式(8)的会聚角可由下式求得：
{\theta _i}=\arcsin \left( {{r_i} \cdot NA} \right)\quad, (10) 其中，ri为rm对切趾半径R0的归一化半径，即ri=rm/R0。因此对应设计的轴向双焦点涡旋相位波带片在物镜后焦面上的切趾函数表示为：
\begin{split} &P(\theta )=\\ &\left\{ \begin{gathered} \exp ({\rm{i}}n\varphi ),\;\;\; 0 \lt \theta \lt {\theta _1},{\theta _2} \lt \theta \lt {\theta _3}, \cdots ,{\theta _N} \lt \theta \lt \alpha \\ - \exp ({\rm{i}}n\varphi ),{\theta _1} \lt \theta \lt {\theta _2},{\theta _3} \lt \theta \lt {\theta _4}, \cdots ,{\theta _{N - 1}} \lt \theta \lt {\theta _N} \\ \end{gathered} \right. , \end{split} (11) 其中，θ1、θ2、θ3、
\cdots {\theta _N} 表示每个环带外沿对应的光束会聚角，n为螺旋相位的拓扑荷值。3. 数值模拟与讨论
根据上述高数值孔径物镜的紧聚焦理论，可以数值模拟涡旋相位波带片经物镜聚焦后的三维光场分布。如图2所示为线偏振光入射及涡旋相位波带片的拓扑荷n=1时的数值模拟结果，其中数值模拟所用的参数为：入射光波长λ=0.532 μm，物镜的数值孔径NA=0.85。图2(a)所示为轴向偏移距离|Δz|=10 μm时的涡旋相位波带片的相位分布图。图2(b)所示为对应的高数值孔径物镜经此波带片调制后的yz截面的光强分布图。从图中可以看出，此时物镜的聚焦光斑在轴向方向分为两个（轴向偏移距离Δz=±10 μm），且轴向偏移距离与设计的波带片的轴向偏移距离相一致。图2(c)与图2(e)为设计的轴向偏移距离分别为|Δz|=15 μm和|Δz|=20 μm时的涡旋相位波带片的相位分布。从图中可以看出，随着偏移距离的增大，环带数目变得越来越多。当偏移距离达到一定值时，环带宽度将会无法分辨。因为高数值孔径物镜的聚焦区域是有限的，矢量衍射理论也仅仅在聚焦区域成立，所以涡旋相位波带片产生的轴向双焦点的偏移距离也是有限的。图2(d)与图2(f)分别为对应的光强在yz截面上的分布图。从图中可以看出，双焦点的轴向偏移距离与设计的波带片的偏移距离是一致的。因此，通过改变涡旋相位波带片的环带半径解析式中的Δz，可以控制轴向双焦点的位置，来实现双焦点的动态控制。
图 2 线偏振光入射时的数值模拟结果，其中拓扑荷n=1，数值孔径NA=0.85。涡旋相位图中的轴向偏移距离分布为：(a) |Δz|=10 μm，(c) |Δz|=15 μm，(e) |Δz|=20 μm。(b)、 (d)、 (f)分别为对应的yz截面光强分布图Figure 2. The simulation results of incident linearly polarized light with n=1 and NA=0.85. The axial shift distances of the vortex phase zone plate are: (a) |Δz|=10 μm; (c) |Δz|=15 μm; (e) |Δz| = 20 μm. (b), (d) and (f) are the corresponding yz cross-section distributions of the total intensity in (a), (b) and (c), respectively除此之外，从图2中yz截面上的光强分布可以看出，每个光斑截面的光强度分布有两个极大值，且中间光强为极小值，表明经涡旋相位波带片调制后产生的轴向双焦点的聚焦光斑为空心的。因此，此涡旋相位波带片除了可使双焦点准确分布在设定的轴向偏移位置，还可实现空心的聚焦光斑。当圆偏振光入射时，同样可以产生轴向的双焦点空心光斑，但光斑的形状与线偏振光入射线时有所差别。图3(a)(彩图见期刊电子版)所示为线偏振光入射时经拓扑荷n=1，|Δz|=10 μm的涡旋波带片调制后，其中一个聚焦光斑xy截面的光场分布图，从图中可以看出，整个聚焦光斑的光强分布不均匀，而且中间光强不为零。图3(b)所示为对应光斑强度在一维x轴和y轴方向上的光场强度分布曲线图，从图中可见，两个方向上的光强分布具有明显的不对称性，且中间光强均不为零。这是由线偏振光在高数值孔径物镜聚焦下的偏振矢量特性的退偏振效应引起的。图3(c)所示为对应的三维强度等值面分布图，从图中可见，经涡旋相位波带片调制后产生两个轴向聚焦光斑，但光斑强度分布不是圆对称的，且形状为凹凸不平滑的“面包圈”。图3(d)(彩图见期刊电子版)为圆偏振光入射时经拓扑荷n=1，|Δz|=10 μm的涡旋波带片调制后的xy截面的光场强度分布图。图3(e)和3(f)分别为对应的一维方向上的光场强度分布曲线图和三维光强度等值面图。由图中可见，在圆偏振光入射时，聚焦光斑的光强分布是圆对称分布，且中心光强为零的中空“面包圈”状聚焦光斑。
图 3 线偏振光 (a)~(c)和圆偏振光 (d)~(f)入射时的数值模拟结果，其中拓扑荷n = 1，轴向偏移距离|Δz|=10 μm，数值孔径NA=0.85。(a)、 (d)为聚焦光斑在xy截面上的光强分布； (b)、 (e)为聚焦光斑在一维x轴和y轴方向上的归一化光强分布； (c)、 (f)为聚焦场的三维强度等值面分布图，其中的等值面为I1 = 0.5Imax， I2 = 0.3ImaxFigure 3. The simulation results of linearly polarized light (a)−(c) and circularly polarized light (d)−(f) with n=1, |Δz|=10 μm and NA=0.85. (a), (d) are the xy cross-section distributions of total intensity; (b), (e) are the normalized intensity along x and y axis directions; (c), (f) are the 3D iso-surface plots of the total intensity with I1 = 0.5Imax, I2 = 0.3Imax由此可知，线偏振光和圆偏振光在经过涡旋相位波带片调制后都可产生轴向距离可调的双焦点中空光斑。在高数值孔径聚焦下，线偏振光经调制后，在聚焦场的横向光场分布为光强分布不均匀的椭圆环形光斑。而圆偏振光经调制后在聚焦场的横向光场分布为光强分布均匀的圆环形光斑。可见，圆偏振光经波带片调制后，在高数值孔径聚焦下产生的焦斑较线偏振光在此条件下产生的焦斑光斑强度分布更均匀，对粒子的捕获能力更优，光梯度力更大。
对于轴向双焦点的空间位置可以通过改变波带片的环带半径来实现，而对于聚焦双焦点的中空光斑的大小可以通过改变涡旋光束的拓扑荷值来调制。图4(彩图见期刊电子版)所示为圆偏振光入射时，经数值孔径为NA=0.85，不同拓扑荷值的涡旋相位波带片及其调制下的光斑强度分布。其中，图4(a)~4(d)分别为n=1、n=2、n=3和n=4时的波带片的相位分布图。图4(e)~4(h)分别为对应波带片调制后的聚焦场在xy截面的光场强度分布。从图中可以看出，随着涡旋波带片拓扑荷值的增大，聚焦光斑的空心大小也随之增大，且涡旋波带片所携带的拓扑荷n与光斑的空心大小呈线性关系。因此，可以通过改变波带片的拓扑荷值，来实现对中空光斑空心大小的调节。
图 4 圆偏振光入射时的相位分布图 (a)~(d) 及其对应的紧聚焦xy截面的光场强度分布 (e)~(h)。其中，数值孔径NA=0.85，|Δz|=20 μm涡旋波带片的拓扑荷数： (a)， (e) n=1；(b)， (f) n=2；(c)， (g) n=3；(d)， (h) n=4Figure 4. (a)−(d) are the phase distributions of vortex phase zone plate, (e)−(h) are the corresponding xy cross-section distributions of light intensity in the tight focusing field illuminated by circularly polarized light, in which NA=0.85, |Δz|=20 μm and the topology charge: (a), (e) n=1; (b), (f) n=2; (c), (g) n=3; (d), (h) n=44. 实验结果与分析
图5所示为实验所用光路的示意图，其中激光束从波长为532 nm的半导体激光器（北京镭志威光电，LWGL532）出射，经针孔滤波器和准直镜后扩束为准直平行光。然后，通过第一个分束棱镜后经偏振片转化为线偏振光，其中偏振方向与空间光调制器所要求的入射光偏振方向相同。实验中所用的空间光调制器为反射型的纯相位液晶空间光调制器（德国HOLOEYE，LETO型号），可以将涡旋相位波带片的相位分布加载在空间光调制器上，将入射光调制为所需要的相位分布。入射光经空间光调制器调制成所需要的光场分布后，再次经偏振棱镜反射，并经四分之一波片后转换为圆偏振光。然后，通过第二个分束棱镜后入射到高数值孔径物镜中，其中显微物镜（北京茂丰光电，OQ-X60）的数值孔径为NA=0.85。反射镜、第二个分束棱镜与CCD（大恒图像，DH-HV3151UC），组成一个倒置显微成像系统，主要为了观察聚焦区域的光斑变化。其中，反射镜放在一个上下可移动的精密位移平台上，通过改变平面镜与透镜之间的轴向距离，可以观察聚焦区域轴向光斑的变化，最终经过分束棱镜将聚焦光斑放大后成像在CCD上。
图 5 实验光路示意图。其中：PHF为针孔滤波器；CL为准直镜；BS为分束棱镜；P为偏振片；SLM为空间光调制器；PM为平面反射镜Figure 5. Schematic diagram of the optical path in experiment, where PHF is a pin hole filter, CL is a collimation lens, BS is a beam splitter, P is a polarizer, SLM is a spatial light modulator, PM is a plane mirror图6(彩图见期刊电子版)所示为拓扑荷n=1的涡旋相位波带片经高数值孔径（NA=0.85）物镜聚焦后的实验结果图。图6(a)为轴向偏移|Δz|=10 μm时的涡旋相位波带片的相位分布图，图6(b)与6(c)分别为在偏移原焦点位置±10 μm处聚焦光斑的实验结果图。从图中可以看出，经涡旋相位波带片调制后，在轴向上产生了两个聚焦光斑，且光斑为中间光强分布为零的空心光斑。当然，从图中还可以看出，由于实验光路中入射光束及物镜共轴调节带来的误差，导致相同偏移距离的两个中空光斑的暗斑大小不完全对称。图6(d)~6(f)为设计的轴向偏移|Δz|=15 μm时的涡旋相位波带片及其在偏移原焦点位置±15 μm处的聚焦光斑的实验结果。从图中可以看出，同样可以在轴向上产生了两个中间光强分布为零的中空环形光斑。因此，通过改变不同偏移距离的波带片的环半径，可以实现空心光斑在轴向上的动态位置调控。
图 6 不同轴向距离的实验结果图。(a)、 (d)分别为轴向偏移|Δz|=10 μm和|Δz|=15 μm时的涡旋相位波带片的相位分布图； (b)、 (c)分别是±10 μm处xy截面的光场强度分布；图 (e)、 (f)分别是±15 μm处xy截面的光场强度分布图Figure 6. The experimental results with different axial shift distances. (a), (d) are the vortex phase distributions with |Δz|=10 μm and |Δz|=15 μm; (b), (c) are the total intensity distributions on xy cross-section at 10 μm and −10 μm, respectively; (e), (f) are the total intensity distributions on xy cross-section at 15 μm and −15 μm, respectively图7(彩图见期刊电子版)所示为圆偏振光入射时，具有不同拓扑荷值的涡旋相位波带片经数值孔径NA=0.85的物镜聚焦后的光强分布。图7(a)~7(d)分别为拓扑荷n=1、n=2、n=3和n=4时的波带片的相位分布图，其中所有波带片的轴向偏移距离都为|Δz|=20 μm。图7(e)~7(h)分别为对应的涡旋波带片调制后，再经物镜聚焦后，聚焦光场双焦点中的其中一个聚焦光斑光强分布的实验结果图。从图中可以看出，随着拓扑荷值的增加，聚焦光斑的大小及其中间暗斑的大小也随之增大。
图 7 不同拓扑荷数xy截面光场分布实验图。图 (a)、 (b)、 (c)、 (d)分别为n=1、n=2、n=3和n=4时的波带片的相位分布图； (e)、 (f)、 (g)、 (h)分别为 (a)、 (b)、 (c)、 (d)对应波带片调制后的聚焦场在xy截面的光场分布Figure 7. The experimental results of the focusing distribution on xy cross-section with different topology charges. (a), (b), (c), (d) are the phase distributions of the zone plate with n=1, n=2, n=3 and n=4, respectively; (e), (f), (g), (h) are the corresponding experimental results for (a), (b), (c) and (d) after zone plate modulation, respectively图7中实验结果显示，除了利用涡旋相位波带片可以产生轴向距离可调的中空的轴向双焦点，还可以通过改变拓扑荷n来调制聚焦光斑的空心大小。图8所示为理论模拟与实验得出的聚焦光斑的中空暗斑大小随拓扑荷n的变化曲线图。从图中可以看出，实验结果与理论模拟基本一致，即聚焦光斑的中空暗斑大小与涡旋拓扑荷n呈线性关系，聚焦光斑的中间暗斑的大小随着拓扑荷值的增加而增大。从图8中还可以看出，理论与实验结果之间存在一定的误差。造成这种误差的主要原因为实验光路中各类光学元件导致的球差、畸变等，使得聚焦光斑变形，从而导致实验测量结果与理论仿真结果之间产生了一定的偏差。
图 8 中空环形光斑的暗斑大小随拓扑荷值的变化曲线图Figure 8. The curve of the size of the dark spot of doughnut-shaped spot as a function of the topology charge n5. 结 论
基于理查德-沃尔夫矢量衍射理论，设计了一种轴向双焦点涡旋相位。此轴向双焦点涡旋相位，可用于制作波带片或者加载到空间光调制器中，也可用来调制高数值孔径物镜，产生轴向双焦点中空环形光斑。研究发现，轴向双焦点环形光斑的偏移距离与涡旋相位的环带半径相关，环形光斑的暗斑大小与涡旋相位的拓扑荷值有关。以线偏振光和圆偏振光为例进行实验，线偏振光入射时，实验产生了拓扑荷为1且轴向距离为±10 μm、±15 μm的双聚焦环形光斑；圆偏振入射时，实验产生了轴向距离为±20 μm且拓扑荷为1到4时的双聚焦环形光斑。通过数值模拟与实验结果发现，在高数值孔径物镜聚焦条件下，圆偏振光经调制后聚焦的环形光斑质量要优于线偏振光。线偏振光的聚焦环形光斑强度分布不均匀，中心暗斑强度不为零；而圆偏振光产生的环形光斑的光强分布均匀，呈圆对称分布，且中心空心光强为零。除此之外，数值模拟和实验结果都表明，基于此涡旋相位波带片聚焦产生的双焦点环形光斑的暗斑大小还与波带片的涡旋相位的拓扑荷值有关，呈线性关系，即中心暗斑的大小随涡旋拓扑荷值的增大而增大。因此，通过改变涡旋相位的拓扑荷值以及环带半径，可以实现对轴向双焦点环形光斑的暗斑大小以及轴向偏移距离的有效控制。本研究产生的双焦点涡旋聚焦光斑在光学动态微操作、荧光显微成像、多维并行加工以及高分辨率光存储领域[40-45]有着潜在的应用价值。
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图 2 线偏振光入射时的数值模拟结果，其中拓扑荷n=1，数值孔径NA=0.85。涡旋相位图中的轴向偏移距离分布为：(a) |Δz|=10 μm，(c) |Δz|=15 μm，(e) |Δz|=20 μm。(b)、 (d)、 (f)分别为对应的yz截面光强分布图
Figure 2. The simulation results of incident linearly polarized light with n=1 and NA=0.85. The axial shift distances of the vortex phase zone plate are: (a) |Δz|=10 μm; (c) |Δz|=15 μm; (e) |Δz| = 20 μm. (b), (d) and (f) are the corresponding yz cross-section distributions of the total intensity in (a), (b) and (c), respectively
图 3 线偏振光 (a)~(c)和圆偏振光 (d)~(f)入射时的数值模拟结果，其中拓扑荷n = 1，轴向偏移距离|Δz|=10 μm，数值孔径NA=0.85。(a)、 (d)为聚焦光斑在xy截面上的光强分布； (b)、 (e)为聚焦光斑在一维x轴和y轴方向上的归一化光强分布； (c)、 (f)为聚焦场的三维强度等值面分布图，其中的等值面为I1 = 0.5Imax， I2 = 0.3Imax
Figure 3. The simulation results of linearly polarized light (a)−(c) and circularly polarized light (d)−(f) with n=1, |Δz|=10 μm and NA=0.85. (a), (d) are the xy cross-section distributions of total intensity; (b), (e) are the normalized intensity along x and y axis directions; (c), (f) are the 3D iso-surface plots of the total intensity with I1 = 0.5Imax, I2 = 0.3Imax
图 4 圆偏振光入射时的相位分布图 (a)~(d) 及其对应的紧聚焦xy截面的光场强度分布 (e)~(h)。其中，数值孔径NA=0.85，|Δz|=20 μm涡旋波带片的拓扑荷数： (a)， (e) n=1；(b)， (f) n=2；(c)， (g) n=3；(d)， (h) n=4
Figure 4. (a)−(d) are the phase distributions of vortex phase zone plate, (e)−(h) are the corresponding xy cross-section distributions of light intensity in the tight focusing field illuminated by circularly polarized light, in which NA=0.85, |Δz|=20 μm and the topology charge: (a), (e) n=1; (b), (f) n=2; (c), (g) n=3; (d), (h) n=4
图 5 实验光路示意图。其中：PHF为针孔滤波器；CL为准直镜；BS为分束棱镜；P为偏振片；SLM为空间光调制器；PM为平面反射镜
Figure 5. Schematic diagram of the optical path in experiment, where PHF is a pin hole filter, CL is a collimation lens, BS is a beam splitter, P is a polarizer, SLM is a spatial light modulator, PM is a plane mirror
图 6 不同轴向距离的实验结果图。(a)、 (d)分别为轴向偏移|Δz|=10 μm和|Δz|=15 μm时的涡旋相位波带片的相位分布图； (b)、 (c)分别是±10 μm处xy截面的光场强度分布；图 (e)、 (f)分别是±15 μm处xy截面的光场强度分布图
Figure 6. The experimental results with different axial shift distances. (a), (d) are the vortex phase distributions with |Δz|=10 μm and |Δz|=15 μm; (b), (c) are the total intensity distributions on xy cross-section at 10 μm and −10 μm, respectively; (e), (f) are the total intensity distributions on xy cross-section at 15 μm and −15 μm, respectively
图 7 不同拓扑荷数xy截面光场分布实验图。图 (a)、 (b)、 (c)、 (d)分别为n=1、n=2、n=3和n=4时的波带片的相位分布图； (e)、 (f)、 (g)、 (h)分别为 (a)、 (b)、 (c)、 (d)对应波带片调制后的聚焦场在xy截面的光场分布
Figure 7. The experimental results of the focusing distribution on xy cross-section with different topology charges. (a), (b), (c), (d) are the phase distributions of the zone plate with n=1, n=2, n=3 and n=4, respectively; (e), (f), (g), (h) are the corresponding experimental results for (a), (b), (c) and (d) after zone plate modulation, respectively
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